《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. (2024·昌平区期末)将抛物线$y = 2x^{2}$向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得到的抛物线的函数解析式为 (D)
A.$y = 2(x + 2)^{2}+3$
B.$y = 2(x - 2)^{2}+3$
C.$y = 2(x - 2)^{2}-3$
D.$y = 2(x + 2)^{2}-3$

答案： D

2. (2024·上城区期末)由二次函数$y = 2x^{2}$的图象平移得到二次函数$y = 2(x - m)^{2}+n(m＞0,n＞0)$的图象.下列哪种平移方式可以实现 (A)
A.向右平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度
B.向右平移m个单位长度,再向下平移n个单位长度
C.向左平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度
D.向左平移m个单位长度,再向下平移n个单位长度

答案： A

3. (2024·内江)已知二次函数$y = x^{2}-2x + 1$的图象向左平移2个单位长度得到抛物线C,点$P(2,y_{1}),Q(3,y_{2})$在抛物线C上,则$y_{1}$＜$y_{2}$.

答案： ＜

4. (2024·邹城期末)如图,将抛物线$y = x^{2}$平移得到抛物线m,抛物线m经过点$A(-2,0)$和原点,它的顶点为P,它的对称轴与抛物线$y = x^{2}$交于点Q,则图中阴影部分的面积为______1.

答案： 1

5. 抛物线$y= (x - 1)^{2}+3$关于x轴对称的抛物线的函数解析式是 (D)
A.$y = -(x - 1)^{2}+3$
B.$y= (x + 1)^{2}+3$
C.$y= (x - 1)^{2}-3$
D.$y = -(x - 1)^{2}-3$

答案： D

6. 已知点$A(-4,a)$在抛物线$y = x^{2}+4x + 10$上,则点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 (C)
A.$(-3,7)$
B.$(-1,7)$
C.$(0,10)$
D.$(-4,10)$

答案： C

7. 已知二次函数$y = m(x - 1)(x - 4)$的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),顶点为C,将该二次函数的图象关于x轴翻折,所得图象的顶点为D.若四边形ACBD为正方形,则m的值为±$\frac{2}{3}$.

答案： ±$\frac{2}{3}$

8. (2024·崇川区模拟)在平面直角坐标系xOy中,以A为顶点的抛物线$y = x^{2}-1与直线y = k(x + 1)$有两个公共点M,N,其中,点M在x轴上.直线$y = k(x + 1)$与y轴交于点B,点B关于点A的对称点为C.
(1)用含k的式子分别表示点B,N的坐标:B______,N______;
(2)如图,当$k＞0$时,连接CM,CN.求证:CO平分$∠MCN$;
(3)若函数$y = x^{2}-1(x≥k)的图象记为W_{1}$,将$W_{1}沿直线x = k翻折后的图象记为W_{2}$,当$W_{1},W_{2}$两部分组成的图象与线段MB恰有一个公共点时,请确定k的取值范围.

答案：

(1)(0,k)　$(k+1,k^{2}+2k)$
(2)证明:设抛物线与x轴的另一交点为D.
由$x^{2}-1=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=1$，
∴抛物线与x轴的交点为$M(-1,0)$，$D(1,0)$，
∴$CM=CD$。
∵$CO⊥MD$，
∴$∠MCO=∠DCO$，
根据
(1)得$B(0,k)$，$N(k+1,k^{2}+2k)$，
∵点B关于点A的对称点为C，$A(0,-1)$，
∴$C(0,-2-k)$。
设直线CN的函数解析式为$y=mx-2-k$，
∴$k^{2}+2k=m(k+1)-2-k$，
∴$m(k+1)=(k+1)(k+2)$，
∵$k＞0$，
∴$k+1＞0$，
∴$m=k+2$，
故直线CN的函数解析式为$y=(k+2)x-(k+2)=(k+2)(x-1)$，
∴不论k为何值，直线CN过定点$(1,0)$，
∴点$D(1,0)$在直线CN上。
∴CO平分$∠MCN$。
(3)解:设图象$W_{1}$上的任意一点$P(a,a^{2}-1)$，
点P在图象$W_{2}$上的对应点$Q(m,n)$。
根据题意得$\frac{m+a}{2}=k$，$n=a^{2}-1$，解得$a=2k-m$，
∴$n=(2k-m)^{2}-1$，
即图象$W_{2}$的函数解析式为$y=(2k-x)^{2}-1$。
当$k≥0$时，若图象$W_{2}$经过点B，如答图① ，则$W_{1}$，$W_{2}$两部分组成的图象与线段MB有唯一交点，
∴$B(0,k)$满足$y=(2k-x)^{2}-1$，
∴$4k^{2}-1=k$，解得$k=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$或$k=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$(舍去)；
若图象$W_{2}$经过点M，如答图② ，则$W_{1}$，$W_{2}$两部分组成的图象与线段MB有唯一交点，
∴$M(-1,0)$满足$y=(2k-x)^{2}-1$，
∴$(2k+1)^{2}-1=0$，解得$k=0$或$k=-1$(舍去)，
∴$0≤k≤\frac{1+\sqrt{17}}{8}$。
当$k＜0$时，若$-1＜k＜0$，则$W_{1}$，$W_{2}$两部分组成的图象与线段MB没有交点，不符合题意；
如答图③，若$k=-1$，则$W_{1}$，$W_{2}$两部分组成的图象与线段MB有M，B两个交点，不符合题意；
若$-2＜k＜-1$，则图象$W_{1}$与线段MB有两个交点，不符合题意；
如答图④，若$k≤-2$，则图象$W_{1}$与线段MB有一个交点，
$y=x^{2}-1$与$y=k(x+1)$联立得$x^{2}-1=k(x+1)$，
由$\Delta ≠0$，知$k≠-2$，
∴$k＜-2$。
综上所述，k的取值范围是$k＜-2$或$0≤k≤\frac{1+\sqrt{17}}{8}$。