《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

6. (2024·经开区期末)某商店销售一种商品,经市场调查发现：在实际销售中,售价 $ x $ 为整数,且该商品的月销售量 $ y $(件)是售价 $ x $(元/件)的一次函数,其售价 $ x $(元/件)、月销售量 $ y $(件)、月销售利润 $ w $(元)的部分对应值如下表：
|售价 $ x $/(元/件)|35|40|
|月销售量 $ y $/件|250|200|
|月销售利润 $ w $/元|1250|2000|
注：月销售利润 = 月销售量 $ × $(售价 - 进价)
(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2)当该商品的售价是多少元/件时,月销售利润最大？并求出最大利润；
(3)现公司决定每销售 1 件商品就捐赠 $ m(0 ＜ m \leqslant 5) $ 元利润给山区儿童,售价不超过 46 元/件时,每天扣除捐赠后的月销售利润随售价 $ x $ 的增大而增大,求 $ m $ 的取值范围。

答案： 解：
(1)设一次函数解析式为$y=kx+b$，根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} 35k+b=250,\\ 40k+b=200,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-10,\\ b=600,\end{array}\right. $
∴y与x的函数解析式为$y=-10x+600$．
(2)由表中数据知，商品的进价为$\frac {250×35-1250}{250}=30$(元/件)．
∴$w=(x-30)y=(x-30)(-10x+600)=-10x^{2}+900x-18000=-10(x-45)^{2}+2250$．
∵$-10＜0$，
∴当$x=45$时，w最大，最大值为2250．
∴当该商品的售价是45元/件时，月销售利润最大，最大利润为2250元．
(3)根据题意得$w=(x-30-m)(-10x+600)=-10x^{2}+(900+10m)x-18000-600m$，
∴其图象的对称轴为直线$x=-\frac {900+10m}{2×(-10)}=45+\frac {1}{2}m$．
∵$-10＜0$，
∴当$x≤45+\frac {1}{2}m$时，w随x的增大而增大，
∵$x≤46$时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，
∴$45+\frac {1}{2}m≥46$，解得$m≥2$．
∵$0＜m≤5$，
∴m的取值范围为$2≤m≤5$．

7. (2024·孝感期末)星星服装厂生产 A 品牌服装,每件成本为 68 元,零售商到星星服装厂一次性批发 A 品牌服装 $ x(x \geqslant 100) $ 件,批发单价为 $ y $ 元,$ y $ 与 $ x $ 之间满足如图所示的函数关系。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
(2)零售商到星星服装厂一次性批发 A 品牌服装 $ x(100 \leqslant x \leqslant 360) $ 件,服装厂的利润为 $ w $ 元,问 $ x $ 为何值时,$ w $ 最大？最大值是多少？
(3)零售商到星星服装厂一次性批发 A 品牌服装 $ x $ 件,若星星服装厂欲获利不低于 4320 元,请直接写出 $ x $ 的取值范围。

答案： 解：
(1)当$100≤x≤300$时，设y与x的函数关系式为$y=kx+b$，根据题意得$\left\{\begin{array}{l} 100k+b=100,\\ 300k+b=80,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-\frac {1}{10},\\ b=110,\end{array}\right. $
∴$y=-\frac {1}{10}x+110$，当$x＞300$时，由图象可知：$y=80$，
∴y与x的函数关系式为$y=\left\{\begin{array}{l} -\frac {1}{10}x+110(100≤x≤300),\\ 80(x＞300).\end{array}\right. $
(2)分两种情况：
①当$100≤x≤300$时，$w=(-\frac {1}{10}x+110-68)x=-\frac {1}{10}x^{2}+42x=-\frac {1}{10}(x-210)^{2}+4410$，
∵$-\frac {1}{10}＜0$，图象开口向下，
∴w有最大值，
∴当$x=210$时，w最大，最大值为4410；
②当$300＜x≤360$时，$w=(80-68)x=12x$，
∵$12＞0$，
∴w随x的增大而增大，
∴当$x=360$时，w最大，$w_{最大}=12×360=4320$．
∵$4410＞4320$，
∴当x为210时，w最大，最大值是4410．
(3)①当$100≤x≤300$时，$w=-\frac {1}{10}x^{2}+42x$，
∴$-\frac {x^{2}}{10}+42x=4320$，整理得$(x-180)(x-240)=0$，解得$x=180$或$x=240$，
∵$-\frac {1}{10}＜0$，
∴函数图象开口向下，
∵获利不低于4320元，
∴$180≤x≤240$；
②当$x＞300$时，$w=12x$，
∴$12x≥4320$，解得$x≥360$．综上，$180≤x≤240$或$x≥360$．