《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

8. (2024·靖江期末)已知一元二次方程$x^{2}-x - 3= 0的较小根为x_{1}$,则下面对$x_{1}$的估计正确的是 (A)
A.$-2\lt x_{1}\lt - 1$
B.$-3\lt x_{1}\lt - 2$
C.$2\lt x_{1}\lt 3$
D.$-1\lt x_{1}\lt 0$

答案： A

9. 已知$a^{2}-2ab - b^{2}= 0(a\neq0,b\neq0)$,则代数式$\frac{a}{b}$的值为1±√2。

答案： 1$\pm\sqrt{2}$

10. 用公式法解下列方程：
(1)$3x^{2}-1= 4x$； (2)$(x + 1)(x - 1)= 2\sqrt{2}x$； (3)$3x^{2}+2x= (x + 2)^{2}$。

答案： 解:
(1)原方程化为$3x^{2}-4x-1=0$.
$\because b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×3×(-1)=28$,
$\therefore x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$,
$\therefore x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$.
(2)原方程化为$x^{2}-2\sqrt{2}x-1=0$.
$\because b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-1)=12$,
$\therefore x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}$,$\therefore x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{3},x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
(3)原方程化为$x^{2}-x-2=0$.
$\because b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-2)=9$,
$\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$,$\therefore x_{1}=2,x_{2}=-1$.

11. 用公式法解下列方程并求根的近似值。(结果精确到$0.01$,参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$,$\sqrt{5}\approx2.236$)
(1)$x^{2}-x - 1= 0$； (2)$x^{2}+2\sqrt{2}x - 1= 0$。

答案： 解:
(1)$\because b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-1)=5$,
$\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$,$\therefore x_{1}\approx1.62,x_{2}\approx-0.62$.
(2)$\because b^{2}-4ac=(2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-1)=8+4=12$,
$\therefore x=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}=-\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$,
$\therefore x_{1}\approx0.32,x_{2}\approx-3.15$.

12. 我们规定一种运算：$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix} = ad - bc$,例如：$\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix} = 2×5 - 3×4= 10 - 12= -2$。当$\begin{vmatrix}x&0.5 - x\\1&2x\end{vmatrix} = 0$时,求$x$的值。

答案： 解:由题意,得$2x^{2}-1×(0.5-x)=0$,
整理,得$4x^{2}+2x-1=0$,
解得$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$或$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$.

13. 新定义(2024·湘潭期末)对于两个不相等的实数$a$,$b$,我们规定符号$\max\{a,b\}表示a$,$b$中的较大值,如：$\max\{2,5\}= 5$。按照这个规定,若$\max\{1,x\}= x^{2}-3$,求$x$的值。

答案： 解:当$x＜1$时,由$\max\{1,x\}=x^{2}-3$得$x^{2}-3=1$,
即$x^{2}=4$,
解得$x_{1}=2$(不合题意,舍去),$x_{2}=-2$.
当$x＞1$时,由$\max\{1,x\}=x^{2}-3$得$x^{2}-3=x$,
即$x^{2}-x-3=0$,
解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$(不合题意,舍去),
$\therefore x=-2$或$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$.