《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

6. (2024·雨花区期末)已知二次函数的图象如图所示,求这个二次函数的解析式。

答案： 解:
∵二次函数的图象经过点(-1,0),(3,0),
∴二次函数的解析式可设为y=a(x+1)(x-3),把(0,-3)代入得-3=a×1×(-3),解得a=1,
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3),即y=x²-2x-3.

7. 若抛物线的最高点的纵坐标是$\frac{25}{4}$,且过点$(-1,0)$,$(4,0)$,求这个抛物线的函数解析式。

答案： 解:
∵抛物线与x轴交于点(-1,0),(4,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=3/2,
∴抛物线的顶点坐标为(3/2,25/4).设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x-4),把(3/2,25/4)代入,得a·5/2·(-5/2)=25/4,解得a=-1,
∴抛物线的函数解析式为y=-(x+1)(x-4),即y=-x²+3x+4.

8. 如果抛物线经过点$A(2,0)和B(-1,0)$,且与$y轴交于点C$,若$OC= 2$,求这条抛物线的函数解析式。

答案： 解:设抛物线的函数解析式为y=a(x-2)(x+1).
∵OC=2,
∴点C的坐标为(0,2)或(0,-2).把(0,2)代入y=a(x-2)(x+1),得a·(-2)·1=2,解得a=-1,此时抛物线的函数解析式为y=-(x-2)·(x+1),即y=-x²+x+2;把(0,-2)代入y=a(x-2)(x+1),得a·(-2)·1=-2,解得a=1,此时抛物线的函数解析式为y=(x-2)·(x+1),即y=x²-x-2.故这条抛物线的函数解析式为y=-x²+x+2或y=x²-x-2.

9. 已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线$y= 3x^{2}$相同,顶点与抛物线$y= (x+2)^{2}$的顶点重合。
(1)这条抛物线的函数解析式为y=3(x+2)²；
(2)若将(1)中的抛物线向右平移4个单位长度,得到的新抛物线的函数解析式为y=3(x-2)²；
(3)若将(1)中的抛物线的顶点不变,开口方向相反,得到的新抛物线的函数解析式为y=-3(x+2)²；
(4)若将(1)中的抛物线沿$y$轴对折,得到的新抛物线的函数解析式为y=3(x-2)²。

答案：
(1)y=3(x+2)²
(2)y=3(x-2)²
(3)y=-3(x+2)²
(4)y=3(x-2)²

10. 已知抛物线$y= 2x^{2}-4x+1$。
(1)该抛物线关于$x$轴对称的抛物线的函数解析式为y=-2(x-1)²+1；
(2)该抛物线关于$y$轴对称的抛物线的函数解析式为y=2(x+1)²-1；
(3)该抛物线关于原点对称的抛物线的函数解析式为y=-2(x+1)²+1；
(4)将该抛物线绕着它与$y轴的交点旋转180^{\circ}$所得抛物线的函数解析式为y=-2(x+1)²+3；
(5)该抛物线关于直线$x= 2$对称的抛物线的函数解析式为y=2(x-3)²-1。

答案：
(1)y=-2(x-1)²+1
(2)y=2(x+1)²-1
(3)y=-2(x+1)²+1
(4)y=-2(x+1)²+3
(5)y=2(x-3)²-1