《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

8. (2024·乐陵期末)如图,AB 是⊙O 的直径,C 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,D 为$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点,连接 CD,作 DE⊥CD 交 AB 于点 E,连接 CE. 若⊙O 的半径为 5,且$\frac{DE}{CD}= \frac{3}{4}$,则△CDE 的面积为 (B)

A.6
B.7.5
C.$5\sqrt{2}$
D.10

答案： B

9. (2024·连云港)如图,AB 是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4 的顶点均在 AB 上方的圆弧上,∠1,∠4 的一边分别经过点 A,B,则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 的度数为90°.

答案： 90°

10. (2023·深圳)如图,在⊙O 中,AB 为直径,C 为圆上一点,∠BAC 的平分线与⊙O 交于点 D. 若∠ADC = 20°,则∠BAD 的度数是______.

35°

答案： 35°

11. 如图,AB 是⊙O 的直径,∠ACD 是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角,∠ACD = 30°.
(1)求∠DAB 的度数；
(2)过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E,DE 的延长线交⊙O 于点 F,若 AB = 4,求 DF 的长.

答案：
(1)解:如答图，连接BD.
∵∠ACD=30°,
∴∠B=∠ACD=30°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB=90° - ∠B=60°.
(2)
∵∠ADB=90°,∠B=30°,AB=4,
∴AD=1/2AB=2.
∵∠DAB=60°,DE⊥AB,且AB是直径,
∴EF=DE=√3/2AD=√3,
∴DF=2DE=2√3

12. (2023·武汉)如图,OA,OB,OC 都是⊙O 的半径,∠ACB = 2∠BAC.
(1)求证：∠AOB = 2∠BOC；
(2)若 AB = 4,BC = $\sqrt{5}$,求⊙O 的半径.

答案：
(1)证明:
∵∠AOB=2∠ACB,∠ACB=2∠BAC,
∴∠AOB=4∠BAC.
∵∠BOC=2∠BAC,
∴∠AOB=2∠BOC.
(2)解:如答图，过点O作半径OD⊥AB于点E,连接BD,
则∠DOB=1/2∠AOB,AE=BE;
∵∠AOB=2∠BOC,
∴∠DOB=∠BOC,
∴BD=BC.
∵AB=4,BC=√5,
∴BE=2,DB=√5.
在Rt△BDE中,∠DEB=90°,
∴DE=√(BD² - BE²)=1.在Rt△BOE中,∠OEB=90°,
由勾股定理,得OB²=(OB - 1)²+2²,解得OB=5/2,即⊙O的半径是5/2.

13. 如图,在⊙O 中,A,B,C 是⊙O 上的点,∠ABC = 120°,弦 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 D,连接 MA,MC. 求证：AB + BC = BM.

答案： 证明:如答图，在BM上截取BF，使BF=BC,连接CF.
∵BM平分∠ABC,∠ABC=120°,
∴∠CBF=1/2∠ABC=60°,
∴△BCF为等边三角形，
∴∠BFC=60°,BF=BC=FC,
∴∠CFM=180° - ∠BFC=120°.
又
∵∠ABC=120°,
∴∠ABC=∠MFC.
∵弧BC=弧BC,
∴∠BAC=∠FMC,
∴△ABC≌△MFC(AAS),
∴MF=AB.
又
∵BM=MF+BF,BF=BC,
∴AB+BC=BM.