《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

9. 将抛物线$y= (x - 3)(x - 5)$先绕原点O旋转$180^{\circ}$,再向右平移2个单位长度,所得抛物线的函数解析式为 (A)
A.$y = -x^{2}-4x - 3$
B.$y = -x^{2}-12x - 35$
C.$y = x^{2}+12x + 35$
D.$y = x^{2}+4x + 3$

答案： A

10. 如图①,已知抛物线的顶点坐标为$(0,1)且经过点A(1,2)$,直线$y = 3x - 4\sqrt{2}经过点B(2\sqrt{2},n)$,与y轴交点为C.
(1)求抛物线的函数解析式及n的值;
(2)将直线BC绕原点O逆时针旋转$45^{\circ}$,求旋转后直线的函数解析式;
(3)如图②,将抛物线绕原点O顺时针旋转$45^{\circ}$得到新曲线,新曲线与直线BC交于点M,N,点M在点N的上方,求点N的坐标.

答案：
解:
(1)设抛物线的函数解析式为$y=ax^{2}+1$，
将点A的坐标代入上式得$2=a+1$，解得$a=1$，
故抛物线的函数解析式为$y=x^{2}+1$，
$n=3×2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
(2)由
(1)知点B的横坐标和纵坐标相同，$BO=4$，
故点B绕点O逆时针旋转$45^{\circ}$，落在y轴上，则对应点为$B'(0,4)$，
同理点$C(0,-4\sqrt{2})$绕点O逆时针旋转$45^{\circ}$，对应点为$C'(4,-4)$，
设直线$B'C'$的函数解析式为$y=kx+b$，
则$\begin{cases}-4 = 4k + b\\4 = b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 4\end{cases}$，
故旋转后直线的函数解析式为$y=-2x+4$。
(3)如答图 ，作直线$y=-2x+4$交抛物线于点$N'$，
则抛物线和直线$y=-2x+4$绕原点O顺时针旋转$45^{\circ}$得到新曲线和直线$y=3x-4\sqrt{2}$，
联立$y=x^{2}+1$与$y=-2x+4$并解得$x=1$或$x=-3$ (舍去)，故点$N'(1,2)$，
设点$N(m,3m-4\sqrt{2})$，由题意得$ON=ON'$，
即$1^{2}+2^{2}=m^{2}+(3m-4\sqrt{2})^{2}$，
解得$m=\frac{3\sqrt{2}}{2}$(不合题意的值已舍去)，
故点$N(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$。