《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

11. 阅读理解 先阅读例题,再解答问题.
例:解方程 $ x^{2}-|x|-2 = 0 $.
解:当 $ x\geqslant0 $ 时,$ x^{2}-x - 2 = 0 $,
解得 $ x_{1}= -1 $(不合题意,舍去),$ x_{2}= 2 $;
当 $ x\lt0 $ 时,$ x^{2}+x - 2 = 0 $,
解得 $ x_{3}= 1 $(不合题意,舍去),$ x_{4}= -2 $.
综上所述,原方程的解为 $ x = 2 $ 或 $ x= -2 $.
依照上述解法解方程:$ x^{2}-|x - 3|-3 = 0 $.

答案： 解:当x≥3时,x²-x=0,
∴x(x-1)=0,解得x₁=1,x₂=0,不符合题意,均舍去;当x＜3时,x²+x-6=0,
∴(x+3)(x-2)=0,解得x₃=-3,x₄=2.综上所述,原方程的解为x=-3或x=2.

12. 为解方程 $ (x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4 = 0 $,我们可以将 $ x^{2}-1 $ 视为一个整体,然后设 $ x^{2}-1 = y $,则原方程可化为 $ y^{2}-5y + 4 = 0 $,解此方程得 $ y_{1}= 1,y_{2}= 4 $.
当 $ y = 1 $ 时,$ x^{2}-1 = 1 $,解得 $ x= \pm\sqrt{2} $;
当 $ y = 4 $ 时,$ x^{2}-1 = 4 $,解得 $ x= \pm\sqrt{5} $.
所以原方程的根为 $ x_{1}= \sqrt{2},x_{2}= -\sqrt{2},x_{3}= \sqrt{5},x_{4}= -\sqrt{5} $.
以上解方程的过程中,利用换元达到了降次的目的,体现了数学的转化思想.
运用上述方法解下列方程:
(1)$ (x^{2}-x)(x^{2}-x - 4)= -4 $; (2)$ x^{4}+x^{2}-12 = 0 $.
(1)解:设x²-x=a,则原方程可化为a²-4a+4=0,解此方程得a₁=a₂=2.当a=2时,x²-x=2,即x²-x-2=0,因式分解,得(x-2)(x+1)=0,解得x₁=2,x₂=-1.
(2)解:设x²=y,则原方程可化为y²+y-12=0,(y-3)(y+4)=0,解得y₁=3,y₂=-4.当y=3时,x²=3,解得x=±√3;当y=-4时,x²=-4,无实数根.所以原方程的解是x₁=√3,x₂=-√3.

答案： 换元
(1)解:设x²-x=a,则原方程可化为a²-4a+4=0,解此方程得a₁=a₂=2.当a=2时,x²-x=2,即x²-x-2=0,因式分解,得(x-2)(x+1)=0,解得x₁=2,x₂=-1.
(2)解:设x²=y,则原方程可化为y²+y-12=0,(y-3)(y+4)=0,解得y₁=3,y₂=-4.当y=3时,x²=3,解得x=±√3;当y=-4时,x²=-4,无实数根.所以原方程的解是x₁=√3,x₂=-√3.