《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

6. (2024·牡丹江)如图,二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2}+bx + c的图象与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,点$A的坐标为(-1,0)$,点$C的坐标为(0,-3)$,连接$BC$。
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点$P$是抛物线在第四象限图象上的任意一点,当$\triangle BCP$的面积最大时,$BC边上的高PN$的值为______。

(1)解:把$(-1,0)$和$(0,-3)$代入$y=\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$得$\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}-b+c=0,\\ c=-3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=-\frac{5}{2},\\ c=-3,\end{array}\right. $
　∴二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x-3.$
(2)$\frac{9}{5}\sqrt{5}$

答案：
(1)解:把$(-1,0)$和$(0,-3)$代入$y=\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$得$\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}-b+c=0,\\ c=-3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=-\frac{5}{2},\\ c=-3,\end{array}\right. $
∴二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x-3.$
(2)$\frac{9}{5}\sqrt{5}$

7. 如图,抛物线$y = -x^{2}+bx + c与直线y = x + 2相交于A(-2,0)$,$B(3,m)$两点,与$x轴相交于另一点C$。
(1)求抛物线的函数解析式。
(2)抛物线上是否存在点$M使\triangle ABM的面积等于\triangle ABC$面积的一半？若存在,请求出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
解:
(1)把B(3,m)代入$y=x+2$得$m=3+2=5.$
∴B(3,5).
　把A(−2,0),B(3,5)代入$y=-x^{2}+bx+c$得$\left\{\begin{array}{l} -4-2b+c=0,\\ -9+3b+c=5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=2,\\ c=8,\end{array}\right. $
∴抛物线的函数解析式为$y=-x^{2}+2x+8.$
(2)抛物线上存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半.
　过点M作MK//y轴交直线AB于点K，如答图.
　在$y=-x^{2}+2x+8$中,令$y=0$得$0=-x^{2}+2x+8,$
　解得$x=-2$或$x=4,$
∴A(−2,0),C(4,0),
∴$AC=6.$
∵B(3,5),
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×5=15.$
　设$M(m,-m^{2}+2m+8)$,则$K(m,m+2),$
∴$MK=|-m^{2}+2m+8-(m+2)|=|-m^{2}+m+6|.$
∴$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}MK\cdot |x_{B}-x_{A}|=\frac{1}{2}|-m^{2}+m+6|×5=\frac{5}{2}|-m^{2}+m+6|.$
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴$\frac{5}{2}|-m^{2}+m+6|=\frac{1}{2}×15,$
∴$|-m^{2}+m+6|=3,$
∴$-m^{2}+m+6=3$或$-m^{2}+m+6=-3,$
　解得$m=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$或$m=\frac{1\pm\sqrt{37}}{2},$
∴点M的坐标为$(\frac{1+\sqrt{13}}{2},\frac{11+\sqrt{13}}{2})$或$(\frac{1-\sqrt{13}}{2},\frac{11-\sqrt{13}}{2})$或$(\frac{1+\sqrt{37}}{2},\frac{-1+\sqrt{37}}{2})$或$(\frac{1-\sqrt{37}}{2},\frac{-1-\sqrt{37}}{2}).$
　　　　　　

8. (2024·江夏区期末改编)如图,已知抛物线$y = -(x - m)^{2}+4m$的顶点在第一象限,抛物线交$x轴于点A(-1,0)$,$B$,交$y轴于点C$。
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)$D$是第一象限内抛物线上的一点,连接$AD$,若$AD恰好平分四边形ABDC$的面积,求点$D$的横坐标。

答案：
解:
(1)把$A(-1,0)$代入$y=-(x-m)^{2}+4m$,得$-(-1-m)^{2}+4m=0$,解得$m_{1}=m_{2}=1,$
∴抛物线的函数解析式为$y=-(x-1)^{2}+4.$
(2)如答图,连接OD.把$y=0$代入$y=-(x-1)^{2}+4$,得$-(x-1)^{2}+4=0,$
　解得$x_{1}=-1$(点A的横坐标),$x_{2}=3,$
∴B(3,0).
∵抛物线$y=-(x-1)^{2}+4$交y轴于点C,
∴C(0,3).
　设$D(n,-n^{2}+2n+3),$
　则$S_{四边形ABDC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle OCD}+S_{\triangle OBD}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}n+\frac{3}{2}(-n^{2}+2n+3)=\frac{3}{2}(-n^{2}+3n+4).$
∵AD平分四边形ABDC的面积，
∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot |y_{D}|=2(-n^{2}+2n+3)=\frac{1}{2}S_{四边形ABDC}=\frac{3}{4}(-n^{2}+3n+4),$
　整理得$5n^{2}-7n-12=0,$
　解得$n_{1}=\frac{12}{5},n_{2}=-1$(不合题意，舍去)，
∴点D的横坐标为$\frac{12}{5}.$