《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. (2024·耒阳模拟)如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,连接$AO并延长交BC于点D$,交$\odot O于点E$. 若$DE= 1$,$AD= 5$,$\angle ADC= 30^{\circ}$,求$BC$的长.

答案：
解:如答图,过点O作OF⊥BC于点F,则BC=2FC;
∵DE=1,AD=5,∠ADC=30°,
∴OA=OE=OC=3,OD=3−1=2.
∵∠ADC=30°,
∴OF=$\frac{1}{2}$OD=1,
∴FC= $\sqrt{3^2 - 1^2}$=2$\sqrt{2}$,
∴BC=2FC=4$\sqrt{2}$.
　　　　　　　　

2. 如图,$AB是\odot O$的直径,弦$CD\perp AB于点E$,$G是\overset{\frown}{AC}$上一点,$AG$,$DC的延长线交于点F$,连接$AD$,$GD$,$GC$.
(1)求证：$\angle ADG= \angle F$；
(2)若$AE= CD$,$BE= 2$,求$\odot O$的半径.

答案：
(1)证明:连接BG.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°,
∴∠B+∠BAG=90°.
∵AB⊥CD,
∴∠AEF=90°,
∴∠F+∠BAF=90°,
∴∠B=∠F.
∵∠ADG=∠B,
∴∠ADG=∠F.
(2)解:连接OD.设⊙O的半径为r,则AB=2r;
∵AE=CD,BE=2,
∴CD=AE=2r−2.
∵CD⊥AB,
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=r−1.
在Rt△ODE中,由勾股定理得OD²=OE²+DE²,
即r²=(r−2)²+(r−1)²,
解得r₁=5,r₂=1(不合题意，舍去),
∴⊙O的半径为5.

3. (2024·石景山区期末)如图,四边形$ABCD内接于\odot O$,$AB$是直径,$D是\overset{\frown}{AC}$的中点. 若$\angle B= 40^{\circ}$,则$\angle A$的大小为 (C)

A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： C

4. (2024·如皋期末)如图,$AD是\odot O$的直径,$\triangle ABC是\odot O$的内接三角形. 若$\angle DAC= \angle ABC$,$AC= 5$,则$AD$的长为______5$\sqrt{2}$.

答案： 5$\sqrt{2}$