《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. 已知二次函数$y = x^{2}-2x - 3的图象与x轴交于A$,$B$两点,在$x轴上方的抛物线上有一点C$,且$\triangle ABC的面积等于24$,则点$C$的坐标为(C)
A.$(5,12)$
B.$(-3,12)$
C.$(5,12)或(-3,12)$
D.$(3,12)$

答案： C

2. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y = x^{2}+mx + 2的图象与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,其顶点为$D$,若$\triangle ABC与\triangle ABD的面积比为3:5$,则$m$的值为$-\frac{8\sqrt{3}}{3}$。

答案： $-\frac{8\sqrt{3}}{3}$

3. 如图,在$Rt\triangle ACB$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC = \sqrt{2}$,$D是AB$上的一个动点,连接$CD$,将$\triangle BCD绕点C顺时针旋转90^{\circ}得到\triangle ACE$,连接$DE$,则$\triangle ADE$面积的最大值等于$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$

4. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$OABC的顶点A在x$轴的正半轴上,顶点$C的坐标为(4,3)$,$D是抛物线y = -x^{2}+6x$上一点,且在$x$轴上方,则$\triangle BCD$面积的最大值为______15。

答案： 15

5. (2024·扬州)如图,已知二次函数$y = -x^{2}+bx + c的图象与x轴交于A(-2,0)$,$B(1,0)$两点。
(1)求$b$,$c$的值；
(2)若点$P$在该二次函数的图象上,且$\triangle PAB的面积为6$,求点$P$的坐标。

答案： 解:
(1)把A(−2,0),B(1,0)代入$y=-x^{2}+bx+c$得$\left\{\begin{array}{l} -4-2b+c=0,\\ -1+b+c=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=-1,\\ c=2.\end{array}\right. $
(2)由
(1)知,二次函数的解析式为$y=-x^{2}-x+2.$
　设点P的坐标为$(m,-m^{2}-m+2).$
∵△PAB的面积为6,$AB=1-(-2)=3,$
∴$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB\cdot |y_{P}|=\frac{1}{2}×3×|-m^{2}-m+2|=6,$
∴$|m^{2}+m-2|=4,$
　即$m^{2}+m-2=4$或$m^{2}+m-2=-4,$
　解得$m=-3$或$m=2,$
∴点P的坐标为$(-3,-4)$或$(2,-4).$