《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

6. 如图,在平面直角坐标系xOy中,$△OA_{1}B_{1}$是边长为2的等边三角形,作$△B_{2}A_{2}B_{1}与△OA_{1}B_{1}关于点B_{1}$成中心对称,再作$△B_{2}A_{3}B_{3}与△B_{2}A_{2}B_{1}关于点B_{2}$成中心对称,如此继续下去,则$△B_{2n}A_{2n+1}B_{2n+1}$(n是正整数)的顶点$A_{2n+1}$的坐标是 (C)
A.$(4n-1,\sqrt {3})$
B.$(2n-1,\sqrt {3})$
C.$(4n+1,\sqrt {3})$
D.$(2n+1,\sqrt {3})$

答案： C

7. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将$△BOC$绕着点C旋转$180^{\circ }得到△B'O'C$,若$AC= 4,AB'= 10$,则菱形ABCD的边长是____$2\sqrt{17}$.

答案： $2\sqrt{17}$

8. 如图,$△ABO与△CDO$关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且$AF= CE$.
求证:$FD= BE,FD// BE$.

答案：
证明:如答图，连接BF,DE.
∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称，
∴OB=OD,OA=OC.
∵AF=CE,
∴OF=OE.
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴FD=BE,FD//BE;　　　　　　

9. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,若将$△ABC$绕点C顺时针旋转$180^{\circ }得到△FEC$,连接AE,BF.
(1)试猜想线段AE与BF的长短有何关系,并说明理由；
(2)若$△ABC的面积为3cm^{2}$,求四边形ABFE的面积;
(3)当$∠ACB$为多少度时,四边形ABFE为矩形? 说明理由.

答案： 解:
(1)AE=BF.理由如下:
∵将△ABC绕点C顺时针旋转$180^{\circ}$得到△FEC,
∴CF=AC,BC=CE,
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE=BF.　
(2)
∵四边形ABFE为平行四边形，
∴四边形ABFE的面积=$4S_{\triangle ABC}=4×3=12(\text{cm}^2)$.　
(3)当∠ACB=$60^{\circ}$时，四边形ABFE为矩形.理由如下:
∵当AF=BE时，平行四边形ABFE为矩形，
∴AC=BC,而AB=AC,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=$60^{\circ}$,　即当∠ACB为$60^{\circ}$时，四边形ABFE为矩形.

10. 如图,正方形ABCD与正方形$A'B'C'D'$关于点O成中心对称,若正方形ABCD的边长为1,设图形重合部分(阴影)的面积为y,线段OB的长为x,求y与x之间的函数关系式.

答案： 解:设AD与C'D'交于点F,CD与A'D'交于点E.
∵正方形ABCD与正方形A'B'C'D'关于点O成中心对称，
∴四边形DED'F是正方形.
∵正方形ABCD的边长为1,
∴BD=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$
∵OB=x,
∴OD=BD−OB=$\sqrt{2}-x$,
∴DE=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}(\sqrt{2}-x)=2-\sqrt{2}x$,
∴y=S正方形DED'F=DE²=$(2-\sqrt{2}x)^2$.
∴y与x之间的函数关系式为$y=(2-\sqrt{2}x)^2$.