《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

8. 如图,AB是半圆O的直径,E是OA的中点,F是OB的中点,点M,N在$\overset{\frown}{AB}$上,$ME\perp AB$于点E,$NF\perp AB$于点F.有下列结论:①$\overset{\frown}{AM}= \overset{\frown}{MN}= \overset{\frown}{BN}$;②$ME = NF$;③$AE = BF$;④$ME = 2AE$.其中正确的有①②③.(填序号)

答案： ①②③

9. (2023·贵池区二模)如图,C是直径AB的三等分点($AC ＜ CB$),D是$\overset{\frown}{ADB}$的三等分点($\overset{\frown}{BD}＜\overset{\frown}{AD}$).若直径$AB = 12$,则CD的长为______$2\sqrt{13}$.

答案： $2\sqrt{13}$

10. 如图,O是$\angle MPN$平分线上一点,以点O为圆心的圆和PM,PN分别交于点A,B,C,D.求证:$\angle OBA= \angle OCD$.

答案： 证明:过点O作$OE⊥AB$于点E，$OF⊥CD$于点F。
∵PO平分$∠BPD$，$\therefore OE=OF$。在$Rt△BOE$和$Rt△COF$中，$OB=OC$，$OE=OF$，$\therefore Rt△BOE≌Rt△COF(HL)$，$\therefore ∠OBA=∠OCD$。

11. (2024·硚口区期末)如图①,AD,BC是$\odot O$的弦,且$AD = BC$,连接AB,CD.
(1)求证:$AB = CD$;
(2)如图②,连接BD,若$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}$,$BD = 24$,$AB = 4\sqrt{13}$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)证明:$\because AD=BC$，$\therefore \widehat {AD}=\widehat {BC}$，$\therefore \widehat {AD}-\widehat {AC}=\widehat {BC}-\widehat {AC}$，即$\widehat {AB}=\widehat {CD}$，$\therefore AB=CD$。
(2)解:如答图，过点O作$OE⊥BD$于点E，交$\odot O$于点F，连接OB，BF，则$\widehat {BF}=\widehat {DF}$，$\widehat {BD}=\widehat {BF}+\widehat {DF}$，$BE=DE=12$。$\because \widehat {BD}=\widehat {AB}+\widehat {CD}$，$\therefore \widehat {AB}=\widehat {BF}$，$\therefore AB=BF=4\sqrt {13}$，
∴在$Rt△BEF$中，$EF=\sqrt {BF^{2}-BE^{2}}=8$。设$\odot O$的半径为r，则$OE=r - 8$，根据勾股定理，得$12^{2}+(r - 8)^{2}=r^{2}$，解得$r = 13$，即$\odot O$的半径为13。