《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

12. 用配方法证明：
(1)$-x^{2}+6x-10$的值恒小于零；
(2)$4x^{2}-12x+10$的值恒大于零。

答案： 证明:
(1)$-x^{2}+6x-10=-(x-3)^{2}-1 ＜ 0$.
(2)$4x^{2}-12x+10=(2x-3)^{2}+1 ＞ 0$.

13. (2024·社旗期末)下面是小明同学灵活应用配方法解方程$4x^{2}-12x-1= 0$的过程,请认真阅读并完成相应的任务。
解：原方程可化为$(2x)^{2}-6×2x-1= 0$…第一步
移项,得$(2x)^{2}-6×2x= 1$…第二步
配方,得$(2x)^{2}-6×2x+3^{2}= 1$…第三步
$\therefore(2x-3)^{2}= 1$…第四步
两边开平方,得$2x-3= \pm1$…第五步
$\therefore2x-3= 1或2x-3= -1$…第六步
$\therefore原方程的解为x_{1}= 2$,$x_{2}= 1$…第七步
任务一：小明同学的解答过程是从第三步开始出错的,错误的原因是方程的右边漏加了9；
任务二：请直接写出该方程的正确解；
解:方程的解为$x_{1}=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$.
任务三：小刚同学说：“小明同学的解法是错误的,因为用配方法解一元二次方程时,先要把二次项系数化为$1$,再配方。”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？
解:我不同意小刚同学的说法.得到的启示:我们要灵活运用配方法来解一元二次方程.(合理即可)

答案： 任务一:三 方程的右边漏加了9
任务二:解:方程的解为$x_{1}=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$.
任务三:解:我不同意小刚同学的说法.得到的启示:我们要灵活运用配方法来解一元二次方程.(合理即可)

14. (1)已知$a^{2}+4ab+5b^{2}+6b+9= 0$,求$a$,$b$的值；
(2)已知$\triangle ABC的三边长a$,$b$,$c$都是正整数,且满足$a^{2}-4a+2b^{2}-4b+6= 0$,求$c$的值；
(3)若$A= 3a^{2}+3a-4$,$B= 2a^{2}+4a-6$,试比较$A与B$的大小,并说明理由。

答案： 解:
(1)$a^{2}+4ab+5b^{2}+6b+9=a^{2}+4ab+4b^{2}+b^{2}+6b+9=(a+2b)^{2}+(b+3)^{2}=0$,$\therefore a+2b=0$,$b+3=0$,解得$a=6$,$b=-3$.
(2)$\because a^{2}-4a+2b^{2}-4b+6=a^{2}-4a+4+2b^{2}-4b+2=(a-2)^{2}+2(b-1)^{2}=0$,$\therefore a-2=0$,$b-1=0$,解得$a=2$,$b=1$.$\because a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长,$\therefore 1 ＜ c ＜ 3$.$\because c$是正整数,$\therefore c=2$.
(3)$A ＞ B$.理由如下:$\because A=3a^{2}+3a-4$,$B=2a^{2}+4a-6$,$\therefore A-B=3a^{2}+3a-4-(2a^{2}+4a-6)=3a^{2}+3a-4-2a^{2}-4a+6=a^{2}-a+2=\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}$.$\because \left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}\geq 0$,$\therefore \left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4} ＞ 0$,$\therefore A ＞ B$.