《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

11. 已知二次函数$y= (x-a)^{2}+a^{2}-1$(a为常数),当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图,它们的顶点在一条抛物线上,且该抛物线的顶点为$(0,-1)$,则它们的顶点所在的这条抛物线的函数解析式是____y=x²−1.

答案： y=x²−1

12. 如图,二次函数$y= (x-2)^{2}+m$的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴的对称点,已知一次函数$y= kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)$及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式.
(2)抛物线上是否存在一点P,使$S_{△ABP}= S_{△ABC}$?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
解:
(1)将(1,0)代入y=(x−2)²+m，得(1−2)²+m = 0，解得m = -1.
　
∴二次函数的解析式为y=(x−2)²−1.　当x = 0时，y = 4 - 1 = 3，
∴点C的坐标为(0,3).
　
∵点C和点B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x = 2，
∴点B的坐标为(4,3).　将(1,0)，(4,3)代入y = kx + b，得$\begin{cases}k + b = 0\\4k + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = -1\end{cases}$.
　
∴一次函数的解析式为y = x - 1.　
(2)存在点P.
　
∵二次函数的解析式为y=(x−2)²−1 = x²−4x + 3，
∴可设点P(a,a²−4a + 3).
　
∵S_△ABP = S_△ABC，S_△ABC = $\frac{1}{2}$BC·OC = $\frac{1}{2}$×4×3 = 6，
∴S_△ABP = 6.　如答图①，当点P在直线AB下方时，过点P作PE⊥x轴，交AB于点E，
∴E(a,a - 1)，
∴PE = -a² + 5a - 4.
∴S_△ABP = $\frac{1}{2}$×(-a² + 5a - 4)×3 = 6，此方程无解.　 　如答图②，当点P在直线AB上方时，过点C作直线CP//AB，交抛物线于点P，则点P为所求点.
∵CP//AB，
∴直线CP的函数解析式为y = x + 3，
∴a + 3 = a²−4a + 3，解得a = 0(舍去)或a = 5，　又a + 3 = 8，故点P的坐标为(5,8).

13. 如图,已知点$O(0,0),A(-5,0),B(2,1)$,抛物线$l:y= -(x-h)^{2}+1$(h为常数)与y轴的交点为C.
(1)若抛物线l经过点B,求它的函数解析式,并写出此时抛物线l的对称轴及顶点坐标;
(2)设点C的纵坐标为$y_{C}$,求$y_{C}$的最大值,此时抛物线上有两点$(x_{1},$$y_{1}),(x_{2},y_{2})$,其中$x_{1}＞x_{2}≥0$,比较$y_{1}与y_{2}$的大小;
(3)当线段OA被抛物线l分为两部分,且这两部分的比是$1:4$时,求h的值.

答案： 解:
(1)把x = 2，y = 1代入y = -(x - h)² + 1，得h = 2，
∴抛物线l的函数解析式为y = -(x - 2)² + 1，
∴对称轴为直线x = 2，顶点坐标为(2,1).　
(2)点C的横坐标为0，则y_C = -h² + 1，
∴当h = 0时，y_C有最大值1，　此时，抛物线l的函数解析式为y = -x² + 1，对称轴为y轴，当x≥0时，y随着x的增大而减小，
∴当$x_1＞x_2≥0$时，$y_1＜y_2.　(3)$把线段OA分为1:4两部分的点是(-1,0)或(-4,0)，把x = -1，y = 0代入y = -(x - h)² + 1，得0 = -(-1 - h)² + 1，解得h = 0或h = -2，　当h = -2时，线段OA被分为三部分，不符合题意，舍去.把x = -4，y = 0代入y = -(x - h)² + 1，　得0 = -(-4 - h)² + 1，解得h = -5或h = -3.　当h = -3时，线段OA被分为三部分，不符合题意，舍去.综上可得，h的值为0或-5.