《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

10. 若 $m = a^{2}+b^{2}-1,n = 2a - 4b - 7$,请比较 $m$ 与 $n$ 的大小.

答案： 解:$\because m-n=a^{2}+b^{2}-1-(2a-4b-7)=a^{2}-2a+1+b^{2}+4b+4+1=(a-1)^{2}+(b+2)^{2}+1＞0,$
$\therefore m＞n.$

11. 若 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$,且满足 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 = 2a + 2b + 2c$,试判断 $\triangle ABC$ 的形状.

答案： 解:$\because a^{2}+b^{2}+c^{2}+3=2a+2b+2c,$
$\therefore a^{2}-2a+1+b^{2}-2b+1+c^{2}-2c+1=0,$
$\therefore (a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}=0,$
$\therefore a-1=0,b-1=0,c-1=0,\therefore a=1,b=1,c=1,$
$\therefore a=b=c,\therefore △ABC$为等边三角形.

12. (2024·淮北期末)我们可以通过以下方法求代数式 $x^{2}+6x + 5$ 的最小值.
解:$\because x^{2}+6x + 5= x^{2}+2×(3x)+3^{2}-3^{2}+5= (x + 3)^{2}-4,\because(x + 3)^{2}\geq0,\therefore$ 当 $x = - 3$ 时,$x^{2}+6x + 5$ 有最小值 $-4$.请根据上述方法,解答下列问题:
(1)若 $x^{2}+4x + 5= (x + a)^{2}+b$,则 $a=$2, $b=$1;
(2)求代数式 $2x^{2}+4x - 1$ 的最值;
解:$2x^{2}+4x-1=2(x^{2}+2x-\frac {1}{2})=2(x^{2}+2x+1-1-\frac {1}{2})=2(x+1)^{2}-3.$
$\because (x+1)^{2}≥0,$
∴当$x=-1$时,$2x^{2}+4x-1$有最小值-3,无最大值.
(3)若代数式 $-x^{2}+kx + 7$ 的最大值为 $8$,求 $k$ 的值.
解:$-x^{2}+kx+7=-(x^{2}-kx-7)=-[x^{2}-2×(\frac {k}{2}x)+(\frac {k}{2})^{2}-(\frac {k}{2})^{2}-7]=-(x-\frac {k}{2})^{2}+\frac {k^{2}}{4}+7,$
$\because (x-\frac {k}{2})^{2}≥0,\therefore -(x-\frac {k}{2})^{2}≤0$,即代数式有最大值.
∵代数式$-x^{2}+kx+7$的最大值为8,
∴当$x=\frac {k}{2}$时,$\frac {k^{2}}{4}+7=8$,解得$k=\pm 2.$

答案：
(1)2 1
(2)解:$2x^{2}+4x-1=2(x^{2}+2x-\frac {1}{2})=2(x^{2}+2x+1-1-\frac {1}{2})=2(x+1)^{2}-3.$
$\because (x+1)^{2}≥0,$
∴当$x=-1$时,$2x^{2}+4x-1$有最小值-3,无最大值.
(3)解:$-x^{2}+kx+7=-(x^{2}-kx-7)=-[x^{2}-2×(\frac {k}{2}x)+(\frac {k}{2})^{2}-(\frac {k}{2})^{2}-7]=-(x-\frac {k}{2})^{2}+\frac {k^{2}}{4}+7,$
$\because (x-\frac {k}{2})^{2}≥0,\therefore -(x-\frac {k}{2})^{2}≤0$,即代数式有最大值.
∵代数式$-x^{2}+kx+7$的最大值为8,
∴当$x=\frac {k}{2}$时,$\frac {k^{2}}{4}+7=8$,解得$k=\pm 2.$

13. 阅读理解 配方法是一种重要的解决问题的数学方法,可以求代数式的最大值或最小值.例如,求代数式 $x^{2}+2x - 4$ 的最小值.
$x^{2}+2x - 4= (x^{2}+2x + 1)-5= (x + 1)^{2}-5$,可知当 $x = - 1$ 时,$x^{2}+2x - 4$ 有最小值,最小值是 $-5$.
再例如,求代数式 $-3x^{2}+6x - 4$ 的最大值.
$-3x^{2}+6x - 4= -3(x^{2}-2x + 1)-4 + 3= -3(x - 1)^{2}-1$,可知当 $x = 1$ 时,$-3x^{2}+6x - 4$ 有最大值,最大值是 $-1$.
(1)【直接应用】求代数式 $x^{2}+4x - 3$ 的最小值;
(2)【类比应用】已知多项式 $M = a^{2}+b^{2}-2a + 3b + 2025$,试求 $M$ 的最小值;
(3)【知识迁移】如图,学校打算用长 $20$ 米的篱笆围一个长方形的菜地,菜地的一面靠墙(墙足够长),求围成的菜地的最大面积.

答案：
(1)解:$x^{2}+4x-3=(x+2)^{2}-7,$
∴当$x=-2$时,$x^{2}+4x-3$有最小值,最小值是-7.
(2)解:$M=a^{2}+b^{2}-2a+3b+2025=(a-1)^{2}+(b+\frac {3}{2})^{2}+\frac {8087}{4}$,
∴当$a=1,b=-\frac {3}{2}$时,M有最小值$\frac {8087}{4},$
∴M的最小值是$\frac {8087}{4}.$
(3)解:设垂直于墙的一边长为x米,则平行于墙的一边长为$(20-2x)$米.
根据题意得,$S=x(20-2x)=20x-2x^{2}=-2(x^{2}-10x)=-2(x-5)^{2}+50,$
∴当$x=5$时,S有最大值,最大值是50.
∴围成的菜地的最大面积是50平方米.