《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

10. 若点$A(-\frac{13}{4},y_{1})$,$B(-\frac{5}{4},y_{2})$,$C(\frac{1}{4},y_{3})为二次函数y = (x - 2)^{2}$图象上的三点,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系为y₁＞y₂＞y₃. (用“＞”连接)

答案： y₁＞y₂＞y₃

11. (2024·柳州期末)已知二次函数$y = 3(x - a)^{2}$,当$x ＞ 2$时,$y随x$的增大而增大,则$a$的取值范围是a≤2.

答案： a≤2

12. 如图,抛物线$y = a(x + 1)^{2}的顶点为A$,与$y轴的负半轴交于点B$,且$OB = OA$.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点$C(-3,b)$在该抛物线上,求$S_{\triangle ABC}$的值.

答案： 解:
(1)由题意得A(−1,0),B(0,−1),
将(0,−1)代入y=a(x+1)²,得a=−1,
∴抛物线的函数解析式为y=−(x+1)²=−x²−2x−1.
(2)过点C作CD⊥x轴,垂足为D.
将(−3,b)代入y=−(x+1)²,得b=−4,
即C(−3,−4),
则S△ABC=S梯形OBCD−S△ACD−S△AOB=1/2×3×(4+1)−1/2×4×2−1/2×1×1=3.

13. 如图,直线$y = -x - 2交x轴于点A$,交$y轴于点B$,抛物线$y = a(x - h)^{2}的顶点为A$,且经过点$B$.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点$C(m,-\frac{9}{2})$在该抛物线上,求$m$的值；
(3)请在抛物线的对称轴上找一点$P$,使$PO + PB$的值最小,求出点$P$的坐标.

答案：
解:
(1)由y=−x−2,
令x=0,则y=−2,
∴点B的坐标为(0,−2),
令y=0,则x=−2,
∴点A的坐标为(−2,0).
∵抛物线的顶点为A(−2,0),
∴y=a(x+2)².又抛物线经过点B(0,−2),
∴−2=4a,解得a=−1/2,
∴抛物线的函数解析式为y=−1/2(x+2)²,
即y=−1/2x²−2x−2.
(2)
∵点C(m,−9/2)在抛物线y=−1/2x²−2x−2上,
∴−1/2m²−2m−2=−9/2,
∴m²+4m−5=0,
解得m₁=1,m₂=−5.
(3)如答图，设点B关于对称轴x=−2的对称点为点B'，连接OB'，OB'与对称轴的交点即为点P.
∵点B的坐标为(0,−2),对称轴是直线x=−2,
∴B'(−4,−2),则直线OB'的函数解析式为y=1/2x.
联立方程组{y=1/2x, x=−2,解得{x=−2,y=−1,
故点P的坐标为(−2,−1).

14. 已知二次函数$y = -(x - h)^{2}$($h$为常数),当自变量$x的值满足2 \leq x \leq 5$时,与其对应的函数值$y的最大值为-1$. 求$h$的值.

答案： 解:
∵y=−(x−h)²,
∴抛物线的对称轴为直线x=h,顶点坐标为(h,0).
①当h＜2时，在2≤x≤5上,y随x的增大而减小，
∴当x=2时,函数y=−(x−h)²取得最大值−1,
即−(2−h)²=−1,解得h=1或h=3(舍去);
②当2≤h≤5时,函数值y=−(x−h)²的最大值为0,不符合题意;
③当h＞5时,在2≤x≤5上,y随x的增大而增大,
∴当x=5时，函数y=−(x−h)²取得最大值−1,
即−(5−h)²=−1,
解得h=4(舍去)或h=6.综上可得,h的值为1或6.