《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

9. 如图,在平面直角坐标系中,若$\triangle ABC与\triangle A_{1}B_{1}C_{1}关于点E$成中心对称,则对称中心点$E$的坐标是(3,−1).

答案： (3,−1)

10. 在平面直角坐标系中,将点$A先向右平移4$个单位长度,再向下平移$6个单位长度得到B$,如果点$A和点B$关于原点对称,那么点$A$的坐标是(−2,3).

答案： (−2,3)

11. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle PQR是\triangle ABC$经过某种变换后得到的图形,观察点$A与点P$,点$B与点Q$,点$C与点R$的坐标之间的关系. 在这种变换下：
(1)分别写出点$A与点P$,点$B与点Q$,点$C与点R$的坐标；
(2)从中你发现了什么特征？请用文字语言表达出来；
(3)根据你发现的特征,解答下列问题：若$\triangle ABC内有一个点M(2a + 5,1 - 3b)$经过变换后,在$\triangle PRQ内的坐标为N(-3 - a,-b + 3)$,求$a$,$b$的值.

答案： 解:
(1)点A的坐标为(4,3),点P的坐标为(−4,−3);点B的坐标为(3,1),点Q的坐标为(−3,−1);点C的坐标为(1,2),点R的坐标为(−1,−2).
(2)△ABC与△PQR关于原点对称.
(3)由题意得,2a+5=3+a,1−3b=b−3,解得a=−2,b=1.

12. 阅读理解：我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点$P(x_{1},y_{1})$,$Q(x_{2},y_{2})的对称中心的坐标为\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$.
(1)如图,在平面直角坐标系中,若点$P_{1}(0,-1)$,$P_{2}(2,3)的对称中心是点A$,则点$A$的坐标为(1,1)；
(2)另取两点$B(-1.6,2.1)$,$C(-1,0)$. 有一电子青蛙从点$P_{1}处开始依次关于点A$,$B$,$C$做循环对称跳动,即第一次跳到点$P_{1}关于点A的对称点P_{2}$处,接着跳到点$P_{2}关于点B的对称点P_{3}$处,第三次再跳到点$P_{3}关于点C的对称点P_{4}$处,第四次再跳到$P_{4}关于点A的对称点P_{5}$处……求$P_{3}$,$P_{8}$的坐标；
解:设P₃(x₃,y₃),P₄(x₄,y₄).
∵点P₃与点P₂关于点B成中心对称,且B(−1.6,2.1),
∴$\frac{2+x₃}{2}=-1.6$,$\frac{3+y₃}{2}=2.1$,解得x₃=-5.2,y₃=1.2,∴P₃(−5.2,1.2).
∵点P₄与点P₃关于点C成中心对称,且C(−1,0),
∴$\frac{-5.2+x₄}{2}=-1$,$\frac{1.2+y₄}{2}=0$,解得x₄=3.2,y₄=-1.2,∴P₄(3.2,−1.2).
同理可得P₅(−1.2,3.2)→P₆(−2,1)→P₇(0,−1)→P₈(2,3).
(3)在(2)的条件下,求点$P_{2025}$的坐标.
解:∵P₁(0,−1)→P₂(2,3)→P₃(−5.2,1.2)→P₄(3.2,−1.2)→P₅(−1.2,3.2)→P₆(−2,1)→P₇(0,−1)→P₈(2,3)……
∴点P₇的坐标和点P₁的坐标相同,点P₈的坐标和点P₂的坐标相同,即坐标以6为周期循环.
∵2025÷6=337……3,∴点P₂₀₂₅的坐标与点P₃的坐标相同,即P₂₀₂₅(−5.2,1.2).

答案：
(1)(1,1)
(2)解:设P₃(x₃,y₃),P₄(x₄,y₄).
∵点P₃与点P₂关于点B成中心对称,且B(−1.6,2.1),
∴$\frac{2+x₃}{2}=-1.6$,$\frac{3+y₃}{2}=2.1$,解得x₃=-5.2,y₃=1.2,
∴P₃(−5.2,1.2).
∵点P₄与点P₃关于点C成中心对称,且C(−1,0),
∴$\frac{-5.2+x₄}{2}=-1$,$\frac{1.2+y₄}{2}=0$,解得x₄=3.2,y₄=-1.2,
∴P₄(3.2,−1.2).
同理可得P₅(−1.2,3.2)→P₆(−2,1)→P₇(0,−1)→P₈(2,3).
(3)解:
∵P₁(0,−1)→P₂(2,3)→P₃(−5.2,1.2)→P₄(3.2,−1.2)→P₅(−1.2,3.2)→P₆(−2,1)→P₇(0,−1)→P₈(2,3)……
∴点P₇的坐标和点P₁的坐标相同,点P₈的坐标和点P₂的坐标相同,即坐标以6为周期循环.
∵2025÷6=337……3,
∴点P₂₀₂₅的坐标与点P₃的坐标相同,即P₂₀₂₅(−5.2,1.2).