《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. 抛物线$y= \frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 2与x轴交于A$,$B$两点(点$A在点B$左侧),与$y轴交于点C$,在$y轴上找一点P$,使得$\triangle PAC是以AC$为腰的等腰三角形,则点$P$的坐标为(0,$\sqrt{5}-2$),(0,$-\sqrt{5}-2$)或(0,2)。

答案： (0,$\sqrt{5}-2$),(0,$-\sqrt{5}-2$)或(0,2)

2. 已知抛物线$y = - x^{2}+2x + 3与直线y = - x + 3相交于A$,$B$两点,在抛物线的对称轴上找一点$Q$,使$\triangle ABQ$是等腰三角形,则点$Q$的坐标为(1,$3+\sqrt{17}$),(1,$3-\sqrt{17}$),(1,$\sqrt{14}$),(1,$-\sqrt{14}$)或(1,1)。

答案： (1,$3+\sqrt{17}$),(1,$3-\sqrt{17}$),(1,$\sqrt{14}$),(1,$-\sqrt{14}$)或(1,1)

3. (2024·达州)如图,抛物线$y = ax^{2}+bx - 3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0)$,与$y轴交于点C$,点$D$是抛物线的顶点。
(1)求抛物线的函数解析式。
(2)若点$N是抛物线对称轴上位于点D$上方的一动点,是否存在以点$N$,$A$,$C$为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,请求出满足条件的点$N$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 3.解:
(1)由题意得$y=a(x+3)(x-1)=a(x^{2}+2x-3)=ax^{2}+bx-3$,$\therefore -3a=-3$,解得$a=1$,则抛物线的函数解析式为$y=x^{2}+2x-3$.
(2)存在.设点N(-1,m).由点A,C,N的坐标得,$AC^{2}=18$,$AN^{2}=4+m^{2}$,$CN^{2}=1+(m+3)^{2}$,当AC=AN时,$18=4+m^{2}$,解得$m=\pm \sqrt{14}$,则点N(-1,$\pm \sqrt{14}$).当AC=CN时,$18=1+(m+3)^{2}$,解得$m=-3+\sqrt{17}$或$m=-3-\sqrt{17}$(舍去),则点N(-1,$-3+\sqrt{17}$).当AN=CN时,$4+m^{2}=1+(m+3)^{2}$,解得m=-1,则点N(-1,-1).综上,N(-1,$\pm \sqrt{14}$)或(-1,-1)或(-1,$-3+\sqrt{17}$).

4. 抛物线$y = - x^{2}+4x + 5与x轴交于A$,$B$两点(点$A在点B$左侧),与$y轴交于点C$。在坐标轴上存在点$N$,使得$\triangle BCN$为直角三角形,则点$N$的坐标为(-5,0)或(0,-5)或(0,0)。

答案： (-5,0)或(0,-5)或(0,0)

5. (2024·耒阳模拟)如图,已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c经过A(1,0)$,$B(-3,0)$,$C(0,3)$三点。
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点$D$为第二象限内抛物线上一动点,求$\triangle BCD$面积的最大值；
(3)设点$P$为抛物线的对称轴上的一个动点,求使$\triangle BPC为直角三角形的点P$的坐标。

答案：
5.解:
(1)将点A,B,C的坐标分别代入抛物线的函数解析式得$\left\{\begin{array}{l} a+b+c=0,\\ 9a-3b+c=0,\\ c=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=-2,\\ c=3,\end{array}\right. $$\therefore$抛物线的函数解析式为$y=-x^{2}-2x+3$.
(2)如答图，连接BD,DC,BC,过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E.

由点B,C的坐标得,直线BC的函数解析式为$y=x+3$,设D(m,$-m^{2}-2m+3$),E(m,$m+3$),则$DE=-m^{2}-2m+3-(m+3)=-m^{2}-3m$,$\therefore S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}× DE\cdot OB=\frac{1}{2}× 3× (-m^{2}-3m)=-\frac{3}{2}(m+\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$,$\therefore$当$m=-\frac{3}{2}$时,$\triangle BCD$的面积最大,最大值为$\frac{27}{8}$.
(3)由题意可知抛物线的对称轴为直线$x=-1$.设P(-1,t),$\because$B(-3,0),C(0,3),$\therefore BC^{2}=18$,$PB^{2}=(-1+3)^{2}+t^{2}=4+t^{2}$,$PC^{2}=(-1)^{2}+(t-3)^{2}=t^{2}-6t+10$.①若点B为直角顶点,则$BC^{2}+PB^{2}=PC^{2}$,即$18+4+t^{2}=t^{2}-6t+10$,解得t=-2.②若点C为直角顶点,则$BC^{2}+PC^{2}=PB^{2}$,即$18+t^{2}-6t+10=4+t^{2}$,解得t=4.③若点P为直角顶点,则$PB^{2}+PC^{2}=BC^{2}$,即$4+t^{2}+t^{2}-6t+10=18$,解得$t=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$.综上所述,点P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或$(-1,\frac{3+\sqrt{17}}{2})$或$(-1,\frac{3-\sqrt{17}}{2})$.