《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

10. (2024·增城区期末)如图,抛物线$y = ax^{2} + c经过等腰直角\triangle ABO的两个顶点A$,$B$,点$A在y$轴上,则$ac$的值为 (C)

A.$-4$
B.$-3$
C.$-2$
D.$-1$

答案： C

11. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = ax^{2} + 3与y轴交于点A$,过点$A与x轴平行的直线交抛物线y = \frac{1}{3}x^{2}于点B$,$C$,则$BC$的长为6.

答案： 6

12. 已知二次函数图象的顶点为$A(0,1)$,且图象过点$B(2,3)$.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)画出该二次函数的图象；
(3)若直线$y = -\frac{1}{2}x + 2与抛物线交于C$,$D$两点(点$C在点D$的左侧),求$\triangle ACD$的面积.

答案：
解:
(1)
∵二次函数图象的顶点为A(0,1),
∴设该二次函数的解析式为y=ax²+1.
又
∵该函数的图象过点B(2,3),
∴3=4a+1,解得a=1/2,
∴该二次函数的解析式是y=1/2x²+1.
(2)画出该二次函数的图象如答图所示.

(3)联立{y=−1/2x+2, y=1/2x²+1,解得{x₁=−2,y₁=3, {x₂=1,y₂=3/2.
∵直线y=−1/2x+2与抛物线交于C,D两点(点C在点D的左侧)，
∴C(−2,3),D(1,3/2).
如答图，由直线y=−1/2x+2可知直线与y轴的交点为B(0,2),
∴△ACD的面积为1/2×(2−1)×2+1/2×(2−1)×1=3/2.

13. 如图,二次函数$y = -mx^{2} + 4m(m \neq 0)图象的顶点坐标为(0,2)$,矩形$ABCD的顶点B$,$C在x$轴上,$A$,$D$在抛物线上,矩形$ABCD在抛物线与x$轴所围成的图形内.
(1)求二次函数的解析式；
(2)设点$A的坐标为(x,y)$,试求矩形$ABCD的周长c关于自变量x$的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围.

答案： 解:
(1)将(0,2)代入y=−mx²+4m,得2=4m,解得m =1/2,
∴二次函数的解析式为y=−1/2x²+2.
(2)
∵四边形ABCD是矩形，点A(x,y)，
∴线段AD与抛物线的对称轴(y轴)垂直.由抛物线的对称性可知AD=BC=2x.
∵点A在抛物线上，
∴点A的纵坐标y=−1/2x²+2.
又
∵矩形在抛物线与x轴围成的图形内，抛物线与x轴的交点为(−2,0),(2,0),
∴点A的横坐标x满足0＜x＜2,
∴c=2(AB+AD)=2(−1/2x²+2+2x)=−x²+4x+4(0＜x＜2).