《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. (2024·海安月考)(1)【探究发现】如图①,P 是等边$\triangle ABC$内一点,$PA = 4$,$PB = 3$,$PC = 5$,求$∠APB$的度数。
解：将$\triangle BPC$绕点 B 逆时针旋转$60^{\circ}到\triangle BP'A$的位置,连接$PP'$,则$\triangle BPP'$是______三角形,
$\therefore PP' = PB = 3$。
$\because AP = 4$,$AP' = CP = 5$,
$\therefore PP'^{2} + AP^{2} = AP'^{2}$,
$\therefore \triangle PAP'$为直角三角形,
$\therefore ∠APB$的度数为______。
(2)【类比延伸】如图②,在正方形 ABCD 内部有一点 P,连接 PA,PB,PC,若$PA = 2$,$PB = 4$,$∠APB = 135^{\circ}$,求 PC 的长。
(3)【拓展迁移】如图③,在正六边形 ABCDEF 内部有一点 P,若$PA = 4$,$PB = 2$,$PF = 2\sqrt{13}$,请求出$∠APB$的度数及正六边形的边长。

答案：
1.
(1)等边　150°
(2)解:如答图①,把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP',连接PP'

∴P'B=PB=4,P'C=PA=2,∠PBP'=90°,
∴△BPP'是等腰直角三角形,
∴∠PP'B=45°.
在等腰直角△BPP'中,由勾股定理得PP'=√(BP²+BP'²)=√(4²+4²)=4√2.
∵∠APB=135°,
∴∠CP'B=∠APB=135°,
∴∠PP'C=135° - 45°=90°,
在Rt△PP'C中,由勾股定理得PC=√(P'P²+P'C²)=6.
(3)解:
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠FAB=(180°×(6 - 2))/6=120°,AF=AB.
如答图②,将△FAP绕点A顺时针旋转120°得到△BAG,连接PG,

∴AG=AP=4,BG=PF=2√13,∠PAG=120°,
∴∠AGP=∠APG=30°.
过点A作AM⊥PG于点M,则PG=2PM=2×(√3/2)AP=4√3,
∴PG²=48.
又
∵PB²=4,BG²=(2√13)²=52,
∴PG²+PB²=BG²,
∴△BPG是直角三角形,即∠BPG=90°,
∴∠APB=120°.
过点B作BH⊥AP,交AP的延长线于点H,则∠BPH=60°,
∴∠PBH=30°,
∴PH=(1/2)PB=1,
∴AH=5,BH=√3.
在Rt△ABH中,由勾股定理得AB=√(AH²+BH²)=2√7,
∴正六边形的边长为2√7.