《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

7. 函数$y = ax^{2}$与函数$y = ax + a$在同一直角坐标系中的大致图象可能是图中的 (B)

答案： B

8. (2024·浏阳期末)在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(-1,2)$,$B(2,3)$,函数$y = ax^{2}$的图象如图所示,则$a$的值可以为 (B)
A.$0.7$
B.$0.9$
C.$2$
D.$2.1$

答案： B

9. 已知二次函数$y = 202x^{2}$的图象经过原点,在第一象限与第二象限内,其图象上有两个不同点$P(t_{1},\frac{1}{4})$,$Q(t_{2},\frac{1}{4})$,则$t_{1} + t_{2} = $0.

答案： 一　二　0

10. 已知二次函数$y = x^{2}$,当$-1 \leq x \leq 2$时,函数值$y$的取值范围是0≤y≤4.

答案： 0≤y≤4

11. (2023·中原区模拟)一座抛物线形拱桥如图所示,当桥下水面宽度$AB为20m$时,拱顶点$O距离水面的高度为4m$. 如图,以点$O$为坐标原点,以桥面所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)汛期水位上涨,一艘宽为$5m$的小船装满物资,露出水面部分的高度为$3m$(横截面可看作是长$5m$、宽$3m$的矩形),若它恰好能从这座拱桥下通过,求此时水面的宽度. (结果保留根号)

答案： 解:
(1)设抛物线的函数解析式为y=ax²,
由题意知点A(−10,−4),
∴−4=100a,
解得a=−1/25,
∴y=−1/25x².
(2)在y=−1/25x²中,当x=5/2时,y=−1/4,
∴−1/4−3=−13/4,
∴水面所在直线为y=−13/4,
由−1/25x²=−13/4,解得x₁=5√13/2,x₂=−5√13/2.
∴5√13/2−(−5√13/2)=5√13(m),
∴此时水面的宽度为5√13m

12. 已知点$O$为坐标原点,某函数的图象是一条以$y$轴为对称轴、原点为顶点的抛物线,且经过点$A(-2,2)$.
(1)求这个函数的解析式.
(2)写出抛物线上与点$A关于y轴对称的点B$的坐标,并计算出$\triangle AOB$的面积.
(3)在抛物线上是否存在点$C$,使$\triangle ABC的面积等于\triangle AOB$的面积的一半？若存在,求点$C$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1)设这个函数的解析式为y=ax²，
∵函数图象经过点A(−2,2),
∴4a=2,解得a=1/2,
∴这个函数的解析式为y=1/2x².
(2)
∵点A(−2,2),
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为(2,2),
∵点A(−2,2),B(2,2),
∴AB=2−(−2)=2+2=4,
∴S△AOB=1/2×4×2=4.
(3)存在.设点C到AB的距离为h，
则S△ABC=1/2·AB·h=1/2×4h=2h.
∵△ABC的面积等于△AOB的面积的一半，
∴2h=1/2×4,解得h=1.
①当点C在AB下方时，点C的纵坐标为2−1=1,此时1/2x²=1,解得x₁=√2,x₂=−√2,
∴点C的坐标为(√2,1)或(−√2,1).
②当点C在AB上方时，点C的纵坐标为2+1=3,此时1/2x²=3,解得x₁=√6,x₂=−√6,
∴点C的坐标为(√6,3)或(−√6,3).
综上所述，点C的坐标为(√2,1)或(−√2,1)或(√6,3)或(−√6,3).