《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

8. (2024·拱墅区期末)某工厂 1 月份的产值为 200 万元,若平均每月产值的增长率为 $ x(x ＞ 0) $,该工厂 3 月份的产值为 y,则 y 关于 x 的函数解析式是$y=200(1+x)^{2}$.

答案： $y=200(1+x)^{2}$

9. 已知函数 $ y = (m^{2} - m)x^{2} + (m - 1)x + m + 1 $(m 为常数).
(1)当 m 为何值时,这个函数是关于 x 的一次函数?
(2)当 m 为何值时,这个函数是关于 x 的二次函数?

答案： 9.解:
(1)依题意得$m^{2}-m=0$且$m-1≠0$,解得$m=0$,
∴当$m=0$时,这个函数是关于x的一次函数.
(2)依题意得$m^{2}-m≠0$,解得$m≠1$且$m≠0$,
∴当$m≠0$且$m≠1$时,这个函数是关于x的二次函数.

10. 如图,矩形 DEFG 的四个顶点分别在正三角形 ABC 的边上.已知 $ \triangle ABC $的边长为 4,记矩形 DEFG 的面积为 S,线段 BE 的长为 x.
(1)求 S 关于 x 的函数解析式;
(2)当 $ S = \sqrt{3} $时,求 x 的值.

答案： 10.解:
(1)
∵△ABC是正三角形,
∴∠B=60°.
∵矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上,
∴∠BED=90°,BE=CF=x,EF=4-2x,
∴DE=$\sqrt{3}x$.
∴S=DE·EF=$\sqrt{3}x·(4-2x)=-2\sqrt{3}x^{2}+4\sqrt{3}x$.
(2)当S=$\sqrt{3}$时,$-2\sqrt{3}x^{2}+4\sqrt{3}x=\sqrt{3}$,整理,得$2x^{2}-4x+1=0$,解得$x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵0＜x＜2,
∴x的值为$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$或$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

11. 已知 $ y = y_{1} + y_{2}, y_{1} $与 $ x^{2} $成正比例, $ y_{2} $与 $ x - 2 $成正比例.当 $ x = 1 $时, $ y = 1 $;当 $ x = -1 $时, $ y = -5 $.
(1)求 y 与 x 的函数关系式;
(2)当 $ x = -2 $时,求 y 的值.

答案： 11.解:
(1)
∵$y=y_{1}+y_{2}$,$y_{1}$与$x^{2}$成正比例,$y_{2}$与$x-2$成正比例,
∴设$y_{1}=k_{1}x^{2}$,$y_{2}=k_{2}(x-2)$,$k_{1}≠0$且$k_{2}≠0$.
∴$y=k_{1}x^{2}+k_{2}(x-2)$.
∵当x=1时,y=1,当x=-1时,y=-5,
∴$\left\{\begin{array}{l} k_{1}-k_{2}=1,\\ k_{1}-3k_{2}=-5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k_{1}=4,\\ k_{2}=3.\end{array}\right. $
∴$y=4x^{2}+3(x-2)=4x^{2}+3x-6$,即y与x的函数关系式是$y=4x^{2}+3x-6$.
(2)当x=-2时,$y=4×(-2)^{2}+3×(-2)-6=4$.即当x=-2时,y的值是4.

12. 如图,正方形 ABCD 的边长为 4 cm,动点 P,Q 同时从点 A 出发,以 1 cm/s 的速度分别沿 $ A \to B \to C $和 $ A \to D \to C $的路径向点 C 运动,设运动时间为 x s,由点 P,B,D,Q 确定的封闭图形的面积为 $ y \text{cm}^{2} $,求 y 关于 $ x(0 \leq x \leq 8) $的函数解析式.

答案： 12.解:由题意可知,当0≤x≤4时,AP=AQ=x cm,
∴$y=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}x^{2}=8-\frac{1}{2}x^{2}$;当4＜x≤8时,CP=CQ=(8-x)cm,
∴$y=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}(8-x)^{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+8x-24$.综上所述,y关于x的函数解析式为$y=\left\{\begin{array}{l} 8-\frac{1}{2}x^{2}(0≤x≤4),\\ -\frac{1}{2}x^{2}+8x-24(4＜x≤8).\end{array}\right. $