《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

9.(20分)(2023·天门一模)如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连接BD.
(1)判断△BDE的形状,并证明你的结论；
(2)若AB= 10,BE= $2\sqrt{10}$,求BC的长.

答案：
解:
(1)△BDE是等腰直角三角形.证明如下:
∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAE=∠CAD=∠DBC,∠ABE=∠EBC;
∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠EBC,
∴∠BED=∠DBE,
∴BD=ED.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形.
(2)如答图，连接OC,CD,OD,OD交BC于点F.
　　　　　　　　
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,
∴BD=DC.
∵OB=OC,
∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形,BE=2$\sqrt{10}$,
∴BD=2$\sqrt{5}$.
∵AB=10,
∴OB=OD=5.
　设OF=t,则DF=5−t
　在Rt△BOF中,$BF^{2}=OB^{2}-OF^{2}$,
　在Rt△BDF中,$BF^{2}=BD^{2}-DF^{2}$,
∴$5^{2}-t^{2}=(2\sqrt{5})^{2}-(5-t)^{2}$,解得t=3,
∴BF=4,
∴BC=2BF=8.

10.(24分)综合与实践(2024·廉江期末)【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图①,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC＞AB,M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD= BD+BA.
(1)【理解运用】如图①,AB,BC是⊙O的两条弦,AB= 8,BC= 12,M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,MD⊥BC于点D,则BD的长为______；
(2)【变式探究】如图②,若M是$\overset{\frown}{AC}$的中点,【问题呈现】中的其他条件不变,判断CD,BD,BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明；
(3)【实践应用】如图③,BC是⊙O的直径,A是圆上一定点,D是圆上一动点,且满足∠DAC= 45°,若AB= 12,⊙O的半径为10,求AD的长.

答案：

(1)2
(2)解:DB=CD+BA.证明如下:
　如答图①,在DB上截取BG=BA,连接MA,MB,MC,MG.
∵M是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴AM=MC,∠MBA=∠MBG.
　又
∵MB=MB,
∴△MAB≌△MGB(SAS),
∴MA=MG,
∴MC=MG.
∵DM⊥BC,
∴DC=DG,
∴AB+DC=BG+DG,即DB=CD+BA.
(3)解:如答图②,当点D₁在BC下方时,过点D₁作D₁G₁⊥AC于点G₁,连接AD₁.
∵BC是圆的直径,
∴∠BAC=90°.
∵AB=12,⊙O的半径为10,
∴BC=20,
∴AC=$\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16$.
∵∠D₁AC=45°,
∴CG₁+AB=AG₁,
∴AG₁=$\frac{1}{2}(12+16)=14$,
∴AD₁=$14\sqrt{2}$;
　当点D₂在BC上方时,∠D₂AC=45°,
　同理得AD₂=$2\sqrt{2}$.
　综上可知,AD的长为$14\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$.