《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

2. (2024·山西)综合与实践
问题情境:如图①,矩形$MNKL$是学校花园的示意图,其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段$AB$组成的封闭图形,点$A,B在矩形的边MN$上.现要对该花坛内种植区域进行划分,以种植不同花卉,学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计:如图②,$AB= 6$米,$AB的垂直平分线与抛物线交于点P$,与$AB交于点O$,点$P$是抛物线的顶点,且$PO= 9$米.欣欣设计的方案如下:
第一步:在线段$OP上确定点C$,使$∠ACB= 90^{\circ }$,用篱笆沿线段$AC,BC分隔出△ABC$区域,种植串串红;
第二步:在线段$CP上取点F$(不与点$C,P$重合),过点$F作AB$的平行线,交抛物线于点$D,E$.用篱笆沿$DE,CF将线段AC,BC$与抛物线围成的区域分隔成三部分,分别种植不同花色的月季.
方案实施:学校采用了欣欣的方案,在完成第一步$△ABC$区域的分隔后,发现仅剩6米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料,需确定$DE与CF$的长.为此,欣欣在图②中以$AB所在直线为x$轴,$OP所在直线为y$轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题:
(1)在图②中画出坐标系,并求抛物线的函数解析式;
(2)求6米材料恰好用完时$DE与CF$的长;
(3)种植区域分隔完成后,欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰,计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图②设计矩形四个顶点的位置,其中两个顶点在抛物线上,另外两个顶点分别在线段$AC,BC$上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.

答案：
解:
(1)建立如答图①所示的平面直角坐标系。
　　　　　　
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且$AB = 6$，
$\therefore OA=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6 = 3$。
∴点B的坐标为(3,0)。
∵$OP = 9$，
∴点P的坐标为(0,9)。
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数解析式为$y = ax^{2}+9$。
∵点B(3,0)在抛物线$y = ax^{2}+9$上，
$\therefore 9a + 9 = 0$，解得$a = - 1$。
∴抛物线的函数解析式为$y=-x^{2}+9(-3 \leqslant x \leqslant 3)$。
(2)
∵点D，E在抛物线$y=-x^{2}+9$上，
∴设点E的坐标为$(m,-m^{2}+9)$。
∵$DE// AB$，交y轴于点F，
$\therefore DF = EF = m$，$OF=-m^{2}+9$，$\therefore DE = 2m$。
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$OA = OB$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6 = 3$。
$\therefore CF = OF - OC=-m^{2}+9 - 3=-m^{2}+6$。
根据题意，得$DE + CF = 6$，
$\therefore -m^{2}+6 + 2m = 6$，
解得$m_{1}=2$，$m_{2}=0$(不符合题意，舍去)，
$\therefore m = 2$，$\therefore DE = 2m = 4$，$CF=-m^{2}+6 = 2$。
答:DE的长为4米，CF的长为2米。
(3)矩形周长的最大值为$\frac{33}{2}$米。
点拨:如答图②，矩形灯带为GHML。
　　　　　
由点A，B，C的坐标得，直线AC和BC的函数解析式分别为$y = x + 3$，$y=-x + 3$。
设点$G(k,-k^{2}+9)$，$H(-k,-k^{2}+9)$，$L(k,k + 3)$，$M(-k,k + 3)$，
则矩形周长$=2(GH + GL)=2(-2k - k^{2}+9 - k - 3)=-2(k + 1.5)^{2}+\frac{33}{2}\leqslant\frac{33}{2}$，
故矩形周长的最大值为$\frac{33}{2}$米。