《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

6. 规律探究(2024·镇江期末)如图,六边形ABCDEF是正六边形,$F(-1,0),C(1,0)$,将线段AB绕点B按顺时针方向旋转$60^{\circ }至BP_{1}$,将线段$CP_{1}$绕点C按顺时针方向旋转$60^{\circ }至CP_{2}$;将线段$DP_{2}$绕点D按顺时针方向旋转$60^{\circ }至DP_{3}$,以此类推,…,则$P_{2024}$的坐标为 (D)
A.$(1012,1012\sqrt {3})$
B.$(1012,1013\sqrt {3})$
C.$(1013,1013\sqrt {3})$
D.$(1013,1012\sqrt {3})$

答案： D

7. 在平面直角坐标系中,O为原点,点$A(2,0)$,点$B(0,2)$,把$△ABO$绕点B逆时针旋转,得$△A'BO'$,点A,O旋转后的对应点为$A',O'$,记旋转角为α.
(1)如图①,当点$O'$落在边AB上时,求点$O'$的坐标;
(2)如图②,当$α=60^{\circ }$时,求$AA'的长及点A'$的坐标.

答案：
解:
(1)$\because$点$A(2,0)$,点$B(0,2)$,$\therefore OA=OB=2$,$\triangle ABO$是等腰直角三角形,$\therefore AB=2\sqrt{2}$,当点$O'$落在边 AB 上时,$\alpha =45^{\circ}$,$\therefore$点$O'$的横坐标为$\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$,纵坐标为$2-\sqrt{2}$,$\therefore$点$O'$的坐标为$(\sqrt{2},2-\sqrt{2})$.
(2)如答图,连接$OA'$交于 AB 于点 M当$\alpha =60^{\circ}$时,$\angle ABA'=60^{\circ}$,$AB=A'B$,$\therefore \triangle ABA'$为等边三角形,$\therefore AA'=A'B=AB=2\sqrt{2}$.

在$\triangle OBA'$和$\triangle OAA'$中,$\begin{cases} OB=OA, \\ O'A'=OA', \\ A'B=A'A, \end{cases}$$\therefore \triangle OBA'\cong \triangle OAA'(\text{SSS})$,$\therefore \angle BOA'=\angle AOA'$,$\angle BA'O=\angle AA'O$,$\therefore$直线$OA'$的函数解析式为$y=x$,$\therefore OA'\perp AB$,$\therefore 2\sqrt{2}OM=2×2$,$\therefore OM=\sqrt{2}$,$A'M=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\sqrt{6}$,$\therefore OA'=OM+A'M=\sqrt{2}+\sqrt{6}$,$\therefore$点$A'$的坐标为$(1+\sqrt{3},1+\sqrt{3})$.