《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

7.如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB为直径,$AD= CD$.过点D作$DE⊥AB$于点E,连接AC交DE于点F.若$AE= 4,BE= 16$,则DF的长为 (C)

A.4
B.4.8
C.5
D.6

答案： C

8.(2024·启东模拟)如图,AB是$\odot O$的直径,点C,D将$\widehat {AB}$分成相等的三段弧,点P在$\widehat {AC}$上.已知点Q在$\widehat {AB}上且∠APQ= 115^{\circ }$,则点Q所在的弧是 (D)

A.$\widehat {AP}$
B.$\widehat {PC}$
C.$\widehat {CD}$
D.$\widehat {DB}$

答案： D

9.如图,点A,B,C,D,E在$\odot O$上,且$\widehat {AB}的度数为50^{\circ }$,则$∠E+∠C$的度数是155°.

答案： 155°

10.(2023·北京)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分$∠ABC,∠BAC= ∠ADB$.
(1)试说明DB平分$∠ADC$,并求$∠BAD$的大小;
(2)过点C作$CF// AD$交AB的延长线于点F,若$AC= AD,BF= 2$,求此圆半径的长.

答案： 解:
(1)
∵∠BAC=∠ADB,
∴(⌒BC)=(⌒AB),
∴∠CDB=∠ADB,即DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴(⌒AD)=(⌒CD),
∴(⌒AB)+(⌒AD)=(⌒BC)+(⌒CD),即(⌒BAD)=(⌒BCD),
∴BD是直径,
∴∠BAD=90°.
(2)
∵∠BAD=90°,CF//AD,
∴∠F+∠BAD=180°,
∴∠F=90°.
∵(⌒AD)=(⌒CD),
∴AD=DC.
∵AC=AD,
∴AC=AD=CD,
∴△ADC是等边三角形,
∴∠ADC=60°.
∵DB平分∠ADC,
∴∠CDB=(1/2)∠ADC=30°.
∵BD是直径,
∴∠BCD=90°,
∴BC=(1/2)BD.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠ABC=120°,
∴∠FBC=60°,
∴∠FCB=90° - 60°=30°,
∴BF=(1/2)BC.
∵BF=2,
∴BC=4,
∴BD=2BC=8.
∵BD是直径,
∴此圆半径的长为(1/2)BD=4.

11.如图,$△ABC是\odot O$的内接三角形,$△ABC$的外角平分线CD交$\odot O$于点D,F为$\widehat {AD}$上一点,且$\widehat {AF}= \widehat {BC}$,连接DF,并延长DF交BA的延长线于点E,连接AF,BD,AD.
(1)判断BD与DA的数量关系,并说明理由;
(2)求证:$△BCD\cong △AFD$.

答案：
(1)解:BD=DA.理由如下:
∵CD是△ABC的外角平分线,
∴∠ACD=∠DCM.
∵∠DAB+∠DCB=180°,∠DCM+∠DCB=180°,
∴∠DAB=∠DCM.
∵∠ACD=∠DBA,
∴∠DAB=∠DBA,
∴BD=DA.
(2)证明:如答图,连接BF.
∵(⌒AF)=(⌒BC),
∴AF=BC,∠ABF=∠BAC.
∵∠DAB=∠DBA,
∴∠DAB - ∠BAC=∠DBA - ∠ABF,即∠DAC=∠DBF.
∵∠DBF=∠DAF,∠DAC=∠DBC,
∴∠DAF=∠DBC.在△BCD和△AFD中,{BC=AF,∠DBC=∠DAF,DB=DA,
∴△BCD≌△AFD(SAS).