《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线$y = x^{2}-2x - 3与直线y = x - 3$交于A,B两点,该抛物线的顶点为C。设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点,则点M的坐标为(2,-1)或$\left( \frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{-3+\sqrt{17}}{2} \right)$。

答案： (2,-1)或$\left( \frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{-3+\sqrt{17}}{2} \right)$

2. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= \frac{1}{2}x^{2}+2x$经过x轴上的点A,直线AB与抛物线在第一象限交于点B(2,6)。若以点A,O,B,N为顶点的四边形是平行四边形,则点N的坐标是(6,6)或(-2,6)或(-6,-6)。

答案： (6,6)或(-2,6)或(-6,-6)

3. 如图,二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4$的图象经过B(0,4),C(4,0)两点,顶点为D。在直线CD上有点E,作EF⊥x轴于点F,当以点O,B,E,F为顶点的四边形是矩形时,点E的坐标为$\left( \frac{4}{3},4 \right)$。

答案： $\left( \frac{4}{3},4 \right)$

4. 如图,抛物线$y = -x^{2}+6x - 5$交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,直线$y = x - 5$经过点B,C。过点A的直线交直线BC于点M。当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则点P的横坐标为4或$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$。

答案： 4或$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$

5. (2024·泸州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$经过点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x = 1对称。
(1)求该抛物线的函数解析式。
(2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在,求出该菱形的边长；若不存在,说明理由。

答案：
解:
(1)
∵A(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线和x轴的另一个交点为(-1,0)，
∴抛物线的函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)=ax^{2}+bx+3$,解得a=-1,
∴抛物线的函数解析式为$y=-x^{2}+2x+3$.
(2)存在.由抛物线的函数解析式知，点B(0,3).
　由点A,B的坐标得，直线AB的函数解析式为y=-x+3.
　设点C(x,$-x^{2}+2x+3$),则点D(x,-x+3).
∴CD=$-x^{2}+2x+3-(-x+3)=-x^{2}+3x$.
　如答图，当BC是对角线时，对应菱形BDCE，
　CD=BD,
∴$-x^{2}+3x=\sqrt{2}x$,
　解得$x=3-\sqrt{2}$或x=0(舍去),
∴BD=$\sqrt{2}x=3\sqrt{2}-2$,即菱形的边长为$3\sqrt{2}-2$.
　当BC为边时，对应菱形BCDE'，BC=CD,
∴$x^{2}+(-x^{2}+2x)^{2}=(-x^{2}+3x)^{2}$,
　解得x=2或x=0(舍去),
∴CD=$-2^{2}+6=2$,即菱形的边长为2.
　综上，菱形的边长为$3\sqrt{2}-2$或2.