《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

6. 一副三角板如图放置,将三角板 $ADE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $\alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 90^{\circ})$,使得三角板 $ADE$ 的一边所在的直线与 $BC$ 垂直,则 $\alpha$ 的度数为15°或60°.

答案： 15°或60°

7. (2024·海安期末)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 108^{\circ}$,将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转得到 $\triangle ADE$. 若点 $D$ 恰好落在边 $BC$ 上,且 $AD = CD$,则 $\angle E = $24$^{\circ}$.

答案： 24

8. 如图,点 $A$ 在射线 $OX$ 上,$OA = a$. 如果 $OA$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $n^{\circ}(0 ＜ n\leqslant 360)$ 到 $OA'$,那么点 $A'$ 的位置可以用 $(a,n^{\circ})$ 表示.
(1)按上述表示方法,若 $a = 3,n = 37$,则点 $A'$ 的位置可以表示为(3,37°);
(2)在(1)的条件下,已知点 $B$ 的位置用 $(3,74^{\circ})$ 表示,连接 $A'A,A'B$,求证:$A'A = A'B$.

证明:如答图，∵A'(3,37°),B(3,74°),
∴∠AOA'=37°,∠AOB=74°,OA=OB=3,
∴∠A'OB=∠AOB - ∠AOA'=74° - 37°=37°,
∴∠A'OB=∠AOA'.
∵OA'=OA,∴△AOA'≌△BOA'(SAS),∴A'A=A'B.

答案：
(1)(3,37°)
(2)证明:如答图，
∵A'(3,37°),B(3,74°),
∴∠AOA'=37°,∠AOB=74°,OA=OB=3,
∴∠A'OB=∠AOB - ∠AOA'=74° - 37°=37°,
∴∠A'OB=∠AOA'.
∵OA'=OA,
∴△AOA'≌△BOA'(SAS),
∴A'A=A'B.

9. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$E,F$ 是对角线 $BD$ 上的两点,且 $\angle EAF = 45^{\circ}$,将 $\triangle ADF$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 后得到 $\triangle ABQ$,连接 $EQ$.
(1)求证:$EA$ 是 $\angle QED$ 的平分线;
(2)求证:$EF^{2} = BE^{2} + DF^{2}$.

答案： 证明:
∵△ADF绕点A顺时针旋转90°后得到△ABQ,且四边形ABCD是正方形,
∴∠QAF=∠BAD=90°,
BQ=DF,AQ=AF,∠ABQ=∠ADF=45°.
(1)
∵∠EAF=45°,
∴∠EAQ=45°.
在△AQE和△AFE中,AQ=AF,∠EAQ=∠EAF,
AE=AE,
∴△AQE≌△AFE,
∴∠AEQ=∠AEF,
∴EA是∠QED的平分线.
(2)由
(1)中△AQE≌△AFE,得EQ=EF;
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=45°.
又
∵∠ABQ=45°,
∴∠QBE=90°,
在Rt△QBE中,由勾股定理得EQ²=BE²+BQ²,
∴EF²=BE²+DF².