《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

7. 已知一元二次方程 $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 3 $ 的两个根分别为 $ a $,$ b $,且 $ a ＞ b $,则 $ 2 a + b $ 的值是 (C)
A.9
B.-3
C.$ 6 + \sqrt { 3 } $
D.$ - 6 + \sqrt { 3 } $

答案： C

8. 关于 $ x $ 的方程 $ ( a x + b ) ^ { 2 } = c $,下列叙述正确的是 (C)
A.无论 $ c $ 为何值,方程均有实数根
B.方程的根是 $ x = \frac { c - b } { a } $
C.当 $ c \geqslant 0 $ 时,方程可化为 $ a x + b = \sqrt { c } $ 或 $ a x + b = - \sqrt { c } $
D.当 $ c = 0 $ 时,$ x = \frac { b } { a } $

答案： C

9. (2023·德惠模拟)若关于 $ x $ 的方程 $ ( x + 1 ) ^ { 2 } = k - 2 $ 有实数根,则 $ k $ 的值可以是2(写出一个即可).

答案： 2($k\geqslant 2$即可,答案不唯一)

关于 $ x $ 的方程 $ ( x + h ) ^ { 2 } + k = 0 $ ($ h $,$ k $ 均为常数)的解是 $ x _ { 1 } = - 3 $,$ x _ { 2 } = 2 $,则方程 $ ( x + h - 3 ) ^ { 2 } + k = 0 $ 的解是$x_{1}=0$,$x_{2}=5$.

答案： $x_{1}=0$,$x_{2}=5$

11. 如果 $ ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 1 ) ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 1 ) = 63 $,那么 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $ 的值为8.

答案： 8

12. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $ ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } = ( 3 x + 2 ) ^ { 2 } $；
(2) $ \sqrt { 2 } ( 6 - x ) ^ { 2 } = 128 \sqrt { 2 } $；
(3) $ 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = ( 3 - x ) ^ { 2 } $.

答案： 解:
(1)$(2x+3)^{2}=(3x+2)^{2}$,
$\therefore 2x+3=3x+2$或$2x+3=-3x-2$,
$\therefore x_{1}=1$,$x_{2}=-1$.
(2)$(x-6)^{2}=128$,$\therefore x-6=\pm 8\sqrt {2}$,
$\therefore x_{1}=6+8\sqrt {2}$,$x_{2}=6-8\sqrt {2}$.
(3)$(2x-1)^{2}=(3-x)^{2}$,
$\therefore 2x-1=3-x$或$2x-1=-3+x$,
$\therefore x_{1}=\frac {4}{3}$,$x_{2}=-2$.

13. (杭州中考模拟)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } = b ( a b ＞ 0 ) $ 的两个根分别是 $ m - 4 $ 与 $ 3 m - 8 $,求 $ \frac { b } { a } $ 的值.

答案： 解:$\because x^{2}=\frac {b}{a}(ab＞0)$,$\therefore x=\pm \sqrt {\frac {b}{a}}$,
$\therefore$方程的两个根互为相反数,
$\therefore m-4+3m-8=0$,解得$m=3$,
$\therefore$一元二次方程$ax^{2}=b$的两个根分别是1与-1,
$\therefore \sqrt {\frac {b}{a}}=1$,$\therefore \frac {b}{a}=1$.

14. 对于实数 $ p $,$ q $,我们用符号 $ \min \{ p , q \} $ 表示 $ p $,$ q $ 两数中较小的数,如 $ \min \{ 1 , 2 \} = 1 $,$ \min \{ - \sqrt { 2 } , - \sqrt { 3 } \} = - \sqrt { 3 } $. 若 $ \min \{ ( x - 1 ) ^ { 2 } , x ^ { 2 } \} = 1 $,求 $ x $ 的值.

答案： 解:当$(x-1)^{2}＜x^{2}$,即$x＞\frac {1}{2}$时,$(x-1)^{2}=1$,
$x-1=1$或$x-1=-1$,解得$x=2$或$x=0$(舍去);
当$(x-1)^{2}\geqslant x^{2}$,即$x\leqslant \frac {1}{2}$时,$x^{2}=1$,
解得$x=-1$或$x=1$(舍去).
综上,$x$的值是-1或2.