《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

11. (10 分)已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 $。
(1)函数图象的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-4)。
(2)请补全下表,并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点,画出图象。
| $ x $ | $ - 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ |
| $ y $ | 0 | $ - 3 $ | $ - 4 $ | -3 | $ 0 $ |
(3)根据图象填空：
①当 $ y ＞ - 3 $ 时,$ x $ 的取值范围为x＜0或x＞2；
②当 $ 0 ＜ x ＜ 3 $ 时,$ y $ 的取值范围为-4≤y＜0；
③当 $ x ＜ k $($ k $ 是常数)时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,实数 $ k $ 的取值必须满足：k≤1。

答案：
(1)直线x=1 (1,-4)
(2)0 -3 图略
(3)①x＜0或x＞2 ②-4≤y＜0 ③k≤1

12. (15 分)(2024·南通模拟)在平面直角坐标系 $ x O y $ 中,点 $ ( 4, 3 ) $在抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + 3 ( a ＞ 0 ) $上。
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知 $ m ＞ 0 $,当 $ 2 - m \leq x \leq 2 + 2 m $ 时,$ y $ 的取值范围是 $ - 1 \leq y \leq 3 $。求 $ a $,$ m $ 的值。

答案： 解:
(1)将x=0代入y=ax²+bx+3得y=3,
∴抛物线经过点(0,3).
∵点(4,3)在抛物线y=ax²+bx+3上,
∴抛物线的对称轴为直线x=(0+4)/2=2.
(2)由
(1)得抛物线的对称轴为直线x=-b/(2a)=2,
∴b=-4a.
∴y=ax²-4ax+3.
∵m＞0,2-m≤x≤2+2m,
∴x=2时,y=-1为函数的最小值,
即抛物线的顶点坐标为(2,-1).
∴-1=4a-8a+3,
∴a=1.
∴y=x²-4x+3.
∵2+2m-2＞2-(2-m),
∴x=2+2m时,y=3为最大值.
∵m＞0,
∴2+2m=4,
∴m=1.
综上,a=1,m=1.

13. (15 分)(2024·临夏州)在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + b x + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A ( - 1, 0 ) $,$ B ( 3, 0 ) $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,作直线 $ B C $。
(1)求抛物线的函数解析式。
(2)如图①,点 $ P $ 是线段 $ B C $ 上方的抛物线上一动点,过点 $ P $ 作 $ P Q \perp B C $,垂足为 $ Q $,请问线段 $ P Q $ 是否存在最大值？若存在,请求出最大值及此时点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
(3)如图②,点 $ H $ 是直线 $ B C $ 上一动点,过点 $ H $ 作线段 $ H K // O C $(点 $ K $ 在直线 $ B C $ 下方),已知 $ H K = 2 $,若线段 $ H K $ 与抛物线有交点,请直接写出点 $ H $ 的横坐标 $ x _ { H } $ 的取值范围。

答案：
解:
(1)
∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴{c-b=1, c+3b=9,解得{b=2, c=3,
∴抛物线的函数解析式为y=-x²+2x+3.
(2)存在最大值.如答图,过点P作PN⊥AB于点N,交BC于点M.
∵B(3,0),C(0,3),
∴直线BC的函数解析式为y=-x+3.
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠CBO=45°.
∵∠MNB=90°,
∴∠PMQ=∠NMB=45°.
∵PQ⊥BC,
∴△PQM是等腰直角三角形,
∴PM=√2 PQ,
∴PM的值最大时,PQ的值最大.
设P(m,-m²+2m+3),则M(m,-m+3),
∴PM=-m²+2m+3-(-m+3)=-m²+3m.
∵-1＜0,
∴当m=3/2时,PM的值最大,
PM的最大值=-9/4+9/2=9/4,
∴PQ的最大值=(√2/2)PM=9√2/8,此时P(3/2,15/4).

(3)设H(a,-a+3),则K(a,-a+1).
当点K在抛物线上时,-a+1=-a²+2a+3,
∴a²-3a-2=0,解得a₁=(3-√17)/2,a₂=(3+√17)/2.
∵线段HK与抛物线有交点,
∴满足条件的点H的横坐标x_H的取值范围为(3-√17)/2 ≤x_H＜0或3≤x_H≤(3+√17)/2.