《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

8. (2023·衡阳)已知$m＞n＞0$,若关于x的方程$x^{2}+2x-3-m= 0的解为x_{1},x_{2}(x_{1}＜x_{2})$,关于x的方程$x^{2}+2x-3-n= 0的解为x_{3},x_{4}(x_{3}＜x_{4})$,则下列结论正确的是(B)
A.$x_{3}＜x_{1}＜x_{2}＜x_{4}$
B.$x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$
C.$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4}$
D.$x_{3}＜x_{4}＜x_{1}＜x_{2}$

答案： B

9. (2024·泸州)已知二次函数$y= ax^{2}+(2a-3)x+a-1$(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限,则实数a的取值范围为(A)
A.$1≤a＜\frac {9}{8}$
B.$0＜a＜\frac {3}{2}$
C.$0＜a＜\frac {9}{8}$
D.$1≤a＜\frac {3}{2}$

答案： A

10. (2024·梁溪区期末)若二次函数$y= x^{2}+2x-b$的图象与坐标轴有两个公共点,则b满足的条件是b=-1或b=0.

答案： b=-1或b=0

11. (2024·梁山期末)已知函数$y= |x^{2}-2x-3|$的大致图象如图所示,如果方程$|x^{2}-2x-3|= m$(m为实数)有2个不相等的实数根,则m的取值范围是____m=0或m＞4.

答案： m=0或m＞4

12. (2024·建邺区期末)已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c的图象经过(-1,3),(1,-1)$两点.
(1)求b的值;
(2)求证:该二次函数的图象与x轴总有两个公共点;
(3)设该函数图象与x轴的两个公共点的坐标分别为$(m,0),(n,0)$.当$mn＜0$时,求a的取值范围.

答案：
(1)解:
∵二次函数的图象经过(-1,3),(1,-1)两点，
∴a-b+c=3①,a+b+c=-1②.
∴②-①得,2b=-4,
∴b=-2.
(2)证明:由
(1)得,b=-2,a-b+c=3,
∴a+c=1.
∴c=1-a.
∴Δ=b²-4ac=4-4a(1-a)=4-4a+4a²=(2a-1)²+3.
∵对于任意的a都有(2a-1)²≥0,
∴Δ=(2a-1)²+3≥3＞0.
∴该二次函数的图象与x轴总有两个公共点.
(3)解:
∵该函数图象与x轴的两个公共点的坐标分别为(m,0),(n,0),
∴mn=c/a=(1-a)/a.又mn＜0,
∴(1-a)/a＜0.①当a＜0时,1-a＞0,
∴a＜1.
∴a＜0.②当a＞0时,1-a＜0,
∴a＞1.综上,a＜0或a＞1.

13. 已知二次函数$y= 2x^{2}+bx-1$(b为常数).
(1)若抛物线经过点$(1,2b)$,求b的值;
(2)求证:无论b取何值,二次函数$y= 2x^{2}+bx-1$的图象与x轴必有两个交点;
(3)若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A,B,且点A,B的横坐标之和大于1,求b的取值范围.

答案：
(1)解:把(1,2b)代入y=2x²+bx-1中,得2+b-1=2b,解得b=1.
(2)证明:
∵Δ=b²-4×2×(-1)=b²+8,且无论b取何值,b²≥0恒成立,
∴Δ=b²+8＞0,
∴二次函数y=2x²+bx-1的图象与x轴必有两个交点.
(3)解:设平行于x轴的直线为y=m,由{y=2x²+bx-1,y=m,整理,得2x²+bx-1-m=0.设x₁,x₂是方程2x²+bx-1-m=0的两根,则x₁,x₂是直线与抛物线的交点A,B的横坐标,
∴x₁+x₂=-b/2,由题意得-b/2＞1,解得b＜-2.
∴b的取值范围是b＜-2.