《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

12. (2024·东阳期末)已知关于x的方程$(m^{2}-6m+10)x^{2}-4x+n= 0$.
(1)小聪说:该方程一定为一元二次方程.小聪的结论正确吗? 请说明理由.
(2)当$m= 2$时,
①若该方程有实数解,求n的取值范围;
②若该方程的两个实数解分别为$x_{1}和x_{2}$,满足$(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+n^{2}= 16$,求n的值.

答案： 解:
(1)小聪的结论正确,理由如下:
∵m²-6m+10=m²-6m+9+1=(m-3)²+1＞0,
∴关于x的方程(m²-6m+10)x²-4x+n=0一定是一元二次方程.
(2)①由题意得,原方程为(2²-6×2+10)x²-4x+n=0,即2x²-4x+n=0.
∵若该方程有实数解,
∴Δ=(-4)²-8n≥0,
∴n≤2.
②
∵该方程的两个实数解分别为x₁和x₂,
∴x₁+x₂=2,x₁x₂=$\frac{n}{2}$.
∵(x₁-2)²+(x₂-2)²+n²=16,
∴x₁²-4x₁+4+x₂²-4x₂+4+n²=16,
∴(x₁+x₂)²-2x₁x₂-4(x₁+x₂)+8+n²=16,
∴n²-n-12=0,解得n=4或n=-3,
∵n≤2,
∴n=-3.

13. 若菱形ABCD的一条对角线长为8,边CD的长是方程$x^{2}-10x+24= 0$的一个根,则菱形ABCD的边CD的长为 (B)
A.4
B.6
C.4或6
D.8

答案： B

14. (2023春·泰州期末)学校课外兴趣活动小组准备利用长8m的墙AB和一段长26m的篱笆围建一个矩形苗圃园,设平行于墙的一边CD的长为x m.
(1)如图①,如果矩形苗圃园的一边在墙AB上,另三边由篱笆ECDF围成,当苗圃园的面积为$60m^{2}$时,求x的值;
(2)如图②,如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另三边由篱笆ACDF围成,当苗圃园的面积为$60m^{2}$时,求x的值.

答案： 解:
(1)
∵篱笆的总长为26 m,平行于墙的一边CD的长为x m,
∴垂直于墙的一边CE的长为$\frac{26-x}{2}$m.
根据题意得$\frac{26-x}{2}$·x=60,即x²-26x+120=0,
∴x₁=6,x₂=20(不符合题意,舍去).
答:x的值为6.
(2)
∵篱笆的总长为26 m,平行于墙的一边CD的长为x m,
∴垂直于墙的一边AC的长为$\frac{26+8-2x}{2}$=17-x(m).
根据题意得(17-x)x=60,即x²-17x+60=0,
∴x₁=5(不符合题意,舍去),x₂=12.
答:x的值为12.

15. 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元,且让顾客尽可能多地得到实惠,则每件衬衫应降价多少元?
(2)商场平均每天可能盈利1700元吗? 请说明理由.

答案： 解:
(1)设每件衬衫应降价x元,则平均每天可销售(20+2x)件,根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200,
整理,得x²-30x+200=0,解得x₁=10,x₂=20.
∵要扩大销售量,减少库存,
∴x=20.
答:每件衬衫应降价20元.
(2)不可能.理由如下:
根据题意,得(40-x)(20+2x)=1700,
整理,得x²-30x+450=0.
∵Δ=(-30)²-4×1×450=-900＜0,
∴该方程无实数根,
∴商场平均每天不可能盈利1700元.