《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

2.【操作发现】(1)如图①,在等边$\triangle ABC$中,点 B,C 在直线 MN 上,E 为 BC 边上的一点,连接 AE,并把线段 AE 绕点 E 顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段 EF,连接 CF,则线段 CF 与 BE 的数量关系是______,线段 CF 与直线 MN 所夹锐角的度数是______；
【类比探究】(2)如图②,在等边$\triangle ABC$中,点 B,C 在直线 MN 上,若 E 为 BC 延长线上一点,连接 AE,并把线段 AE 绕点 E 顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段 EF,连接 CF,上述两个结论还成立吗？请说明理由；
【拓展应用】(3)如图③,在正方形 ABCD 中,点 B,C 在直线 MN 上,E 为直线 MN 上的任意一点,连接 AE,并把线段 AE 绕点 E 顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段 EF,连接 CF。若正方形的边长为 2,连接 DF,当$DF = \sqrt{10}$时,求线段 BE 的长。

答案：
2.
(1)CF=BE　60°
(2)解:成立.
理由:如答图①,连接AF,由旋转可知:EA=EF,∠AEF=60°,

∴△AEF为等边三角形,
∴∠FAE=60°,AE=AF.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,
则∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,
∴∠BAE=∠FAC,
∴△ABE≌△ACF,
∴CF=BE,∠ABC=∠ACF=60°,
∴∠FCN=180° - ∠ACF - ∠ACB=60°,
即线段CF与直线MN所夹锐角的度数为60°.
(3)解:当点E在线段BC上时,如答图②,过点F作FH⊥CD于点H,作FG⊥MN于点G.

可证四边形CGFH为正方形,设其边长为x,则BE=FG=CH=FH=x,
∴DH=CD - CH=2 - x.
在Rt△DHF中,DH²+HF²=DF²,
即(2 - x)²+x²=10,
解得x₁=3,x₂=-1(舍去),
∴BE=3.
∵点E在线段BC上,
∴BE＜2,
∴BE=3不合题意,舍去.
如答图③,当点E在线段BC的延长线上时,过点F作FH⊥CD,交CD的延长线于点H,作FG⊥MN于点G.

可证四边形CGFH为正方形,设其边长为x,则可得DH=CH - CD=x - 2,
在Rt△DHF中,(x - 2)²+x²=10,
解得x₁=3,x₂=-1(舍去),
∴BE=3.
如答图④,当点E在线段CB的延长线上时,过点F作FG⊥MN于点G,作FH⊥CD,交DC的延长线于点H.

同理可得BE=1.
综上所述,线段BE的长为1或3.