《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

6. 如图,已知一个锐角等于$60^{\circ }的菱形ABCD$,将一个$60^{\circ }的∠MAN的顶点与该菱形的顶点A$重合,以点$A$为旋转中心,按顺时针方向旋转这个$60^{\circ }的∠MAN$,使它的两边分别交$CB,DC或它们的延长线于点E,F$.
(1)如图①,当$∠BAE= ∠DAF$时,线段$AE与线段AF$之间的数量关系是____.
(2)如图②,旋转$∠MAN$,当$∠BAE≠∠DAF$时,(1)中的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.
(3)若菱形$ABCD$的边长为4,$BE= 1$,求$AF$的长.

答案：
6.
(1)AE=AF
(2)解:成立.证明如下:
如答图①,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=AD=CD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ACD均是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACD=∠B=60°=∠BAC.
∵∠MAN=60°=∠BAC,
∴∠BAE=∠CAF,
∴△BAE≌△CAF(ASA),
∴AE=AF.
(3)解:当点E在边BC上时,如答图①,连接AC,过点A作AH⊥BC于点H.
∵△ABC是等边三角形,AH⊥BC,AB=BC=4,
∴BH=HC=2,
∴AH=√(AB² - BH²)=√(16 - 4)=2√3,
∴EH=BH - BE=2 - 1=1,
∴AE=√(AH² + EH²)=√(12 + 1)=√13,
由
(2)知AF=AE,
∴AF=AE=√13.

当点E在CB的延长线上时,如答图②,连接AC,过点A作AH⊥BC于点H,同理可得BH=HC=2,AH=2√3.
∵EH=BH + BE=2 + 1=3,
∴AE=√(AH² + EH²)=√(12 + 9)=√21,
∴AF=AE=√21.
综上所述,AF的长为√13或√21.

7. 某学校活动小组探究了如下问题,请你帮助他们完成解答过程:
(1)操作发现:如图①,$△ABC$中,$AB= AC$,$∠BAC= 90^{\circ }$,$D为边BC$上一点,连接$AD$,作$∠FAD= 90^{\circ }$,并截取$FA= AD$,连接$DF,CF$,求证:$BD^{2}+CD^{2}= DF^{2}$;
(2)灵活运用:如图②,在四边形$ABCD$中,$AC,BD$是对角线,$△ABC$是等边三角形,$∠ADC= 30^{\circ }$,$AD= 3$,$BD= 5$,求$CD$的长.

答案：
7.
(1)证明:
∵∠BAC=90°,∠FAD=90°,
∴∠BAC - ∠DAC=∠DAF - ∠DAC,
即∠BAD=∠CAF.
∵AB=AC,DA=FA,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴BD=CF,∠B=∠ACF.
∵∠BAC=90°,
∴∠B + ∠ACB=90°,
∴∠ACF + ∠ACD=90°,
∴∠DCF=90°.
在Rt△DCF中,由勾股定理得CF² + CD² = DF²,
∴BD² + CD² = DF².
(2)解:以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE,如答图,则CD=CE=DE,∠DCE=∠CDE=60°.

∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°,
∴∠ACB + ∠ACD=∠DCE + ∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD=5.
∵∠ADC=30°,
∴∠ADE=∠ADC + ∠CDE=90°,
∴DE=√(AE² - AD²)=√(5² - 3²)=4,
∴CD=DE=4.