《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

9. (2024·乐山)已知二次函数 $ y = x^{2}-2x(-1\leqslant x\leqslant t - 1) $,当 $ x = -1 $ 时,函数取得最大值；当 $ x = 1 $ 时,函数取得最小值,则 $ t $ 的取值范围是(C)
A.$ 0＜t\leqslant2 $
B.$ 0＜t\leqslant4 $
C.$ 2\leqslant t\leqslant4 $
D.$ t\geqslant2 $

答案： C

10. (2024·梁溪区期末)已知点 $ A(-2,3) $,$ B(3,3) $,$ C(5,3) $,$ D(3,-1) $,若一条抛物线经过其中三个点,则不在该抛物线上的点是点______B.

答案： B

11. (2024·邗江区期末)已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a＜0) $ 图象的对称轴是直线 $ x = t $,点 $ P(1,m) $,$ Q(3,n) $ 在这个二次函数的图象上,若 $ n＜c＜m $,则 $ t $ 的取值范围是______$\frac{1}{2}＜t＜\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}＜t＜\frac{3}{2}$

12. (2024·浙江)已知二次函数 $ y = x^{2}+bx + c(b,c $ 为常数)的图象经过点 $ A(-2,5) $,对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2} $.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点 $ B(1,7) $ 向上平移 2 个单位长度,向左平移 $ m(m＞0) $ 个单位长度后,恰好落在函数 $ y = x^{2}+bx + c $ 的图象上,求 $ m $ 的值；
(3)当 $ -2\leqslant x\leqslant n $ 时,二次函数 $ y = x^{2}+bx + c $ 的最大值与最小值的差为 $ \frac{9}{4} $,求 $ n $ 的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵二次函数的解析式为$y=x^{2}+bx+c,$
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2},$
∴$b=1$,
∴二次函数的解析式为$y=x^{2}+x+c.$又图象经过点$A(-2,5),$
∴$4-2+c=5$,
∴$c=3.$
∴二次函数的解析式为$y=x^{2}+x+3.$
(2)
∵点$B(1,7)$向上平移2个单位长度,向左平移$m(m＞0)$个单位长度,
∴平移后的点的坐标为$(1-m,9).$又点$(1-m,9)$在函数$y=x^{2}+x+3$的图象上,
∴$9=(1-m)^{2}+1-m+3,$
∴$m=4$或$m=-1$(舍去),
∴$m=4.$
(3)
∵$y=x^{2}+x+3=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4},$
∴当$x=-\frac{1}{2}$时,y取最小值,最小值为$\frac{11}{4}.$①当$n＜-\frac{1}{2}$时,最大值与最小值的差为$5-[(n+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}]=\frac{9}{4},$
∴$n_{1}=n_{2}=-\frac{1}{2}$,不合题意.②当$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant 1$时,最大值与最小值的差为$5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$,符合题意.③$n＞1$时,最大值与最小值的差为$(n+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}-\frac{11}{4}=\frac{9}{4},$
∴$n=-2$(舍去)或$n=1$(舍去).综上,n的取值范围为$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant 1.$

13. 如图,已知抛物线经过两点 $ A(-3,0) $,$ B(0,3) $,且其对称轴为直线 $ x = -1 $.
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)直线 $ x = m $ (在点 $ A,B $ 之间)交抛物线于点 $ M $,交直线 $ AB $ 于点 $ N $,求线段 $ MN $ 的长(用含 $ m $ 的代数式表示)；
(3)若点 $ P $ 是抛物线上点 $ A $ 与点 $ B $ 之间的动点(不包括点 $ A,B $),求 $ \triangle PAB $ 的面积的最大值,并求出此时点 $ P $ 的坐标.

答案： 解:
(1)
∵抛物线的对称轴是直线$x=-1$且经过点$A(-3,0),$
∴由抛物线的对称性可知抛物线还经过点$(1,0).$设抛物线的函数解析式为$y=a(x-1)(x+3).$把$(0,3)$代入上式,得$3=-3a$,
∴$a=-1,$
∴抛物线的函数解析式为$y=-x^{2}-2x+3.$
(2)设直线AB的函数解析式为$y=kx+b,$将$(-3,0),(0,3)$代入$y=kx+b$,得$\left\{\begin{array}{l} -3k+b=0,\\ b=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=1,\\ b=3,\end{array}\right. $
∴直线AB的函数解析式为$y=x+3.$由题意,得$M(m,-m^{2}-2m+3),N(m,m+3),$
∴$MN=-m^{2}-2m+3-(m+3)=-m^{2}-3m.$
(3)由
(2)知,直线AB的函数解析式为$y=x+3.$作$PH⊥x$轴于点Q,交直线AB于点H,设$P(x,-x^{2}-2x+3)$,则$H(x,x+3),$
∴$PH=-x^{2}-2x+3-(x+3)=-x^{2}-3x,$
∴$S=\frac{1}{2}(-x^{2}-3x)× 3=-\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8},$
∴当$x=-\frac{3}{2}$时,S取得最大值,为$\frac{27}{8}.$当$x=-\frac{3}{2}$时,$y=-(-\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{3}{2})+3=\frac{15}{4},$即$P(-\frac{3}{2},\frac{15}{4}).$
∴$\triangle PAB$的面积的最大值为$\frac{27}{8}$,此时点P的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4}).$