《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

10. 求m取何值时,关于x的一元二次方程$(2m+1)x^{2}+4mx+2m-3= 0$:
(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; (3)没有实数根.

答案： 解:b²-4ac=(4m)²-4(2m+1)(2m-3)=16m+12.
(1)
∵方程有两个不相等的实数根,
∴16m+12＞0且2m+1≠0,解得$m＞-\frac{3}{4}$且$m≠-\frac{1}{2}.$
∴当$m＞-\frac{3}{4}$且$m≠-\frac{1}{2}$时,方程有两个不相等的实数根.
(2)
∵方程有两个相等的实数根,
∴16m+12=0且2m+1≠0,解得$m=-\frac{3}{4}.$
∴当$m=-\frac{3}{4}$时,方程有两个相等的实数根.
(3)
∵方程没有实数根,
∴16m+12＜0且2m+1≠0,解得m＜-\frac{3}{4}.
∴当m＜-\frac{3}{4}时,方程没有实数根.

11. (2023·北京模拟)已知关于x的一元二次方程$mx^{2}-(3m+2)x+6= 0$.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)如果方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.

答案：
(1)证明:
∵mx²-(3m+2)x+6=0是关于x的一元二次方程,
∴m≠0.
∵△=[-(3m+2)]²-4m×6=9m²+12m+4-24m=9m²-12m+4=(3m-2)²≥0,
∴此方程总有两个实数根.
(2)解:
∵△=(3m-2)²,
∴$x=\frac{3m+2\pm\sqrt{(3m-2)^2}}{2m},$
∴$x₁=3,x₂=\frac{2}{m}.$
∵方程的两个实数根都是整数,且m是正整数,
∴m=1或m=2.

12. 新定义(2023·梁山二模)定义:若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)满足b= a+c$,则称该方程为“和谐方程”.
(1)下列属于“和谐方程”的是____①③;(填序号)
①$x^{2}+2x+1= 0$;②$x^{2}-2x+1= 0$;③$x^{2}+x= 0$.
(2)求证:“和谐方程”总有实数根;证明:∵一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为"和谐方程",∴b=a+c,∴b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²≥0,∴"和谐方程"总有实数根.
(3)已知:关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$为“和谐方程”,若该方程有两个相等的实数根,求a,c的数量关系.解:∵"和谐方程"ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴由(2)知b²-4ac=(a-c)²=0,∴a=c.

答案：
(1)①③
(2)证明:
∵一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为"和谐方程",
∴b=a+c,
∴b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²≥0,
∴"和谐方程"总有实数根.
(3)解:
∵"和谐方程"ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,
∴由
(2)知b²-4ac=(a-c)²=0,
∴a=c.