《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

11.(10分)用适当的方法解方程:
(1)$3x^{2}-5x - 1 = 0$; (2)$4x(x - 2)= 3x - 6$.

答案：
(1)$x_{1}=\frac{5+\sqrt{37}}{6}$,$x_{2}=\frac{5-\sqrt{37}}{6}$
(2)$x_{1}=2$,$x_{2}=\frac{3}{4}$

12.(10分)(2024·高港区期末)已知关于x的一元二次方程$2x^{2}+(k - 8)x - 4k = 0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若该方程有一个根小于3,求k的取值范围.

答案：
(1)证明:$\Delta=b^{2}-4ac=(k-8)^{2}-4×2×(-4k)=(k+8)^{2}\geq0$,$\therefore$该方程总有两个实数根.
(2)解:$x=\frac{-(k-8)\pm\sqrt{(k+8)^{2}}}{2×2}=\frac{8-k\pm|k+8|}{4}$,$\therefore x_{1}=4$,$x_{2}=-\frac{k}{2}$.$\because -\frac{k}{2}＜3$,$\therefore k＞-6$.

13.(15分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-6x + 2m - 1 = 0$有两个实数根,分别为$x_{1},x_{2}$.
(1)若$x_{1}= 1$,求$x_{2}$及m的值.
(2)是否存在实数m,满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)= \frac{6}{m - 5}$? 若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)根据题意得$\Delta=(-6)^{2}-4(2m-1)\geq0$,解得$m\leq5$,$x_{1}+x_{2}=6$,$x_{1}x_{2}=2m-1$.$\because x_{1}=1$,$\therefore1+x_{2}=6$,$x_{2}=2m-1$,$\therefore x_{2}=5$,$m=3$.
(2)存在.$\because(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m-5}$,$\therefore x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{6}{m-5}$,即$2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$,整理得$m^{2}-8m+12=0$,解得$m_{1}=2$,$m_{2}=6$.$\because m＜5$且$m\neq5$,$\therefore m=2$.

14.(15分)已知关于x的一元二次方程$mx^{2}-(4m + 2)x + 3m + 6 = 0$.
(1)试讨论该方程的根的情况并说明理由;
(2)若无论m为何值,该方程都有一个固定的实数根,试求出这个根.

答案：
(1)$\because\Delta=[-(4m+2)]^{2}-4m(3m+6)=16m^{2}+16m+4-12m^{2}-24m=4m^{2}-8m+4=4(m-1)^{2}\geq0$,$\therefore$关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-(4m+2)x+3m+6=0$有实数根.
(2)$\because$无论$m$为何值,该方程都有一个固定的实数根,又$mx^{2}-(4m+2)x+3m+6=m(x^{2}-4x+3)-2x+6=0$,$\therefore x^{2}-4x+3=0$,且$-2x+6=0$,解得$x=3$,$\therefore$这个固定的实数根为3.