《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

8. 如图,将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转$15^{\circ }得到△AEF$,若$AC= \sqrt {3}$,则阴影部分的面积为 (C)

A.1
B.$\frac {1}{2}$
C.$\frac {\sqrt {3}}{2}$
D.$\sqrt {3}$

答案： C

9. 如图,将边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转$30^{\circ }$到正方形AEFG的位置,则图中阴影部分的面积为$\frac {4}{3}\sqrt {3}$.

答案： $\frac {4}{3}\sqrt {3}$

10. (2024·惠山区模拟)如图,$△ABC$是边长为6的等边三角形,点E在AC上且$AE= 4$,点D是直线BC上一动点,将线段ED绕点E逆时针旋转$90^{\circ }$,得到线段EF,连接DF,AF.下列结论:①DF的最小值为$\sqrt {6}$;②AF的最小值是$2+\sqrt {3}$;③当$CD= 2$时,$DE// AB$;④当$DE// AB$时,$DE= 2$.其中正确的有 (B)

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： B

11. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ },∠ACB= 30^{\circ }$.将$△ABC$绕点A按逆时针方向旋转$15^{\circ }后得到△AB_{1}C_{1},B_{1}C_{1}$交AC于点D,若$AD= 2\sqrt {2}$,则$△ABC$的周长等于______6+2√3.

答案： 6+2√3

12. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠BAC= α$,点D在边BC上(不与点B,C重合),连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转$180^{\circ }-α$得到线段AE,连接BE.
(1)$∠BAC+∠DAE= $______$^{\circ }$;
(2)取CD的中点F,连接AF,用等式表示线段AF与BE之间的数量关系,并证明.

答案：

(1)180
(2)解:$AF=\frac {1}{2}BE$;证明如下:
如答图，延长AF到点G,使$FG=AF$,连接DG,CG.

∵点F为CD的中点,$\therefore DF=CF$.
又$AF=GF$,
∴四边形ADGC为平行四边形，
$\therefore ∠DAC+∠ACG=180^{\circ }$,即$∠ACG=180^{\circ }-∠DAC$,
$\therefore ∠BAE=∠BAC+∠DAE-∠DAC=180^{\circ }-∠DAC$,
$\therefore ∠ACG=∠BAE$.
∵四边形ADGC为平行四边形,$\therefore AD=CG$,
$\because AD=AE,\therefore AE=CG$.又$AB=AC$,
$\therefore △ABE\cong △CAG,\therefore BE=AG,\therefore AF=\frac {1}{2}AG=\frac {1}{2}BE.$