《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

8.(2024·蚌埠期末)如图,点 O 是$\triangle ABC$的外接圆的圆心,点 I 是$\triangle ABC$的内心,连接 OB,IA.若$∠CAI= 35^{\circ }$,则$∠OBC$的度数为20°.

答案： 20°

9.如图,$\odot O与\triangle ABC$中 AB,AC 的延长线及 BC 边相切,且$∠ACB= 90^{\circ },BC,AC,AB$的长依次为 3,4,5,则$\odot O$的半径是____2.

答案： 2

10.(2023·湖北)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 70^{\circ },\triangle ABC的内切圆\odot O$与 AB,BC 分别相切于点 D,E,连接 DE,AO 的延长线交 DE 于点 F,则$∠AFD$的度数是____35°.

答案： 35°

11.如图,PA,PB 是$\odot O$的切线,CD 切$\odot O$于点 E,$\triangle PCD$的周长为 12,$∠APB= 60^{\circ }$.
(1)求 PA 的长;
(2)求$∠COD$的度数.

答案： 解:
(1)
∵CA,CE都是⊙O的切线,
∴CA=CE,
同理DE=DB,PA=PB,
∴△PCD的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12,
∴PA=6.
(2)
∵∠P=60°,
∴∠PCE+∠PDE=120°,
∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°.
∵CA,CE是⊙O的切线,
∴∠OCE=∠OCA= $\frac{1}{2}$∠ACD.同理∠ODE= $\frac{1}{2}$∠CDB,
∴∠OCE+∠ODE= $\frac{1}{2}$(∠ACD+∠CDB)=120°,
∴∠COD=180°-120°=60°.

12.如图,AB 为$\odot O$的直径,PA,PC 分别与$\odot O$相切于点 A,C,$PE⊥PA$,PE 交 OC 的延长线于点 E.
(1)求证:$OE= PE;$
(2)连接 BC 并延长交 PE 于点 D,$PA= AB$,且$CE= 9$,求 PE 的长.

答案：

(1)证明:如答图,连接OP.

∵PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,
∴PA=PC,OA⊥PA.
∵OA=OC,OP=OP,
∴△OPA≌△OPC(SSS),
∴∠AOP=∠COP.
∵PE⊥PA,
∴PE//BA,
∴∠EPO=∠AOP,
∴∠EOP=∠EPO,
∴OE=PE.
(2)解:设OA=r.
∵PA=PC,PA=AB,
∴PC=AB=2r.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∵OB//ED,
∴∠EDC=∠B.
∵∠OCB=∠ECD,
∴∠ECD=∠EDC,
∴EC=ED=9.
∵EO=EP,
∴OC=DP=r.
∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠OCP=∠PCE=90°.
在Rt△PCE中,
∵PE²=PC²+EC²,
∴(9+r)²=(2r)²+9²,解得r₁=6,r₂=0(舍去),
∴PE=15.