《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

7. 如图, 在平面直角坐标系中, 已知 $ A(-2,1) $, $ B(-1,4) $, $ C(-1,1) $, 将 $ \triangle ABC $ 先向右平移 3 个单位长度得到 $ \triangle A_1B_1C_1 $, 再绕点 $ C_1 $ 顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle A_2B_2C_1 $, 则点 $ A_2 $ 的坐标是______(2,2).

答案： (2,2)

8. 如图, 在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ AC = 6 $, $ BC = 8 $. 将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转得到 $ \triangle AB^{\prime}C^{\prime} $, $ BC $ 的延长线交 $ B^{\prime}C^{\prime} $ 于点 $ D $, 若 $ B^{\prime}C^{\prime} // AB $, 则 $ CD $ 的长为______2.

答案： 2

9. 如图, 在正方形 $ ABCD $ 中, $ AB = 2 $, 点 $ E $ 为 $ AD $ 边上一点, 且 $ ED = \sqrt{2} $, 将线段 $ ED $ 绕点 $ D $ 顺时针旋转 $ \alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 360^{\circ}) $, 连接 $ BE $, $ AE $, 若 $ \angle BED = 90^{\circ} $, 则 $ \triangle ABE $ 的面积为______$\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$.

答案： $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

10. (2024·海安期末)如图①, 已知四边形 $ ABCD $ 是正方形, 将线段 $ CD $ 绕点 $ C $ 逆时针旋转得到线段 $ CF $, 旋转角为 $ \alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 90^{\circ}) $, 连接 $ BF $, $ DF $.
(1) $ \angle BFC = $______.(用含 $ \alpha $ 的式子表示)
(2) 过点 $ B $ 作 $ BG \perp DF $, 交 $ DF $ 的延长线于点 $ G $, 连接 $ AG $.
① 如图②, 若 $ \alpha = 45^{\circ} $, $ AG = 2 $, 求 $ DF $ 的长;
② 求 $ \frac{AG}{DF} $ 的值.

答案：

(1)$45^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$
(2)解:①延长BG交DA的延长线于点H,连接BD,如答图①.由题意知CD=CF,$\angle DCF=\alpha$.
∵四边形ABCD为正方形,
∴BC=CD,$\angle BCD=90^{\circ}$,
∴CB=CF,$\angle BCF=90^{\circ}-\alpha$.
∵$\alpha=45^{\circ}$,
∴$\angle DCF=\angle BCF=45^{\circ}$.在$\triangle DCF$和$\triangle BCF$中,$\left\{\begin{array}{l} CF=CF\\ \angle DCF=\angle BCF\\ DC=BC\end{array}\right.$
∴$\triangle DCF\cong\triangle BCF$(SAS),
∴DF=BF,$\angle CDF=\angle CFD=\angle CFB=\angle CBF=67.5^{\circ}$.
∵$\angle ADB=\angle ABD=\angle BDC=45^{\circ}$,
∴$\angle BDG=\angle CDF - \angle BDC=22.5^{\circ}$,
∴$\angle ADG=\angle ADB - \angle BDG=22.5^{\circ}$,
∴$\angle ADG=\angle BDG$.在$\triangle DGH$和$\triangle DGB$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle ADG=\angle BDG\\ DG=DG\\ \angle HGD=\angle BDG = 90^{\circ}\end{array}\right.$
∴$\triangle DGH\cong\triangle DGB$(ASA),
∴HG=BG.
∵$\angle BAH=90^{\circ}$,
∴AG=BG=GH=2,
∵$\angle GFB=180^{\circ}-\angle CFB-\angle CFD=45^{\circ}$,
∴$\triangle GFB$为等腰直角三角形,
∴BF=$\sqrt{2}$BG=$2\sqrt{2}$,
∴DF=BF=$2\sqrt{2}$.②过点A作AH//DG,交BG的延长线于点H,作AE//BH交DG于点E,过点C作CK$\perp$DG于点K,如答图②.
∵AH//DG,AE//BH,
∴四边形AHGE为平行四边形.
∵BG$\perp$DG,
∴$\angle HGE=90^{\circ}$,
∴四边形AHGE为矩形.
∴$\angle AED=\angle HAE=\angle H=90^{\circ}$,
∴$\angle HAB+\angle BAE=90^{\circ}$,
∵$\angle BAE+\angle DAE=90^{\circ}$,
∴$\angle HAB=\angle EAD$.在$\triangle BAH$和$\triangle DAE$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle H=\angle AED=90^{\circ}\\ \angle HAB=\angle EAD\\ AB=AD\end{array}\right.$
∴$\triangle BAH\cong\triangle DAE$(AAS),
∴AH=AE,
∴四边形AHGE为正方形,
∴AC=$\sqrt{2}$AE.由题意知CD=CF,
∵CK$\perp$DG,
∴DK=KF=$\frac{1}{2}$DF,$\angle DKC=90^{\circ}$.
∵$\angle KDC+\angle KCD=90^{\circ}$,$\angle KDC+\angle ADE=90^{\circ}$,
∴$\angle ADE=\angle KCD$.在$\triangle DCK$和$\triangle ADE$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle DKC=\angle AED=90^{\circ}\\ \angle KCD=\angle ADE\\ CD=DA\end{array}\right.$
∴$\triangle DCK\cong\triangle ADE$(AAS),
∴DK=AE,
∴DF=2AE,
∴$\frac{AG}{DF}=\frac{\sqrt{2}AE}{2AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.