《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

6. (2024·海安期末)已知直线$y = -x + c(c ＞ 0)$与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线$y = ax^{2}+bx + c$过点A,与x轴的另一个交点为C。点D的坐标为(-c,0),以AD为边在x轴上方作正方形ADEF,若抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的顶点M在正方形ADEF的边上,求b的值。

答案：
解:如答图①,当抛物线顶点在DE上时,$-\frac{b}{2a}=-c$,
∴b=2ac①,
∵抛物线过点A(c,0),
∴$ac^{2}+bc+c=0$,
∵c＞0,
∴ac+b+1=0②,
　由①②得,$b=-\frac{2}{3}$;
　如答图②,当抛物线顶点在EF上时,
　由题意得,$\begin{cases} \frac{4ac-b^{2}}{4a}=2c, \\ ac+b+1=0, \end{cases}$
∴$b_{1}=2\sqrt{2}+2$,$b_{2}=-2\sqrt{2}+2$(舍去).
　综上所述,$b=-\frac{2}{3}$或$2\sqrt{2}+2$.
　

7. (2024·黄冈期末)如图,抛物线$y = -x^{2}+2x + 3$与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称。
(1)求直线AD的函数解析式；
(2)点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,以A,M,P,Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形,求点Q的坐标。

答案：
解:
(1)当x=0时,$y=-x^{2}+2x+3=3$,则C(0,3),
　当y=0时,$-x^{2}+2x+3=0$,解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=3$,
　则A(-1,0),B(3,0).
∵$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵点D和点C关于直线x=1对称,
∴D(2,3),
　设直线AD的函数解析式为y=kx+b,
　把A(-1,0),D(2,3)分别代入得
　$\begin{cases} -k+b=0, \\ 2k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1, \\ b=1, \end{cases}$
∴直线AD的函数解析式为y=x+1.
(2)如答图①，当点P在AM的下方时，
　记直线AM交y轴于点R,$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$,
　则M(1,4).
　设直线AM的函数解析式为y=mx+n,
　把A(-1,0),M(1,4)分别代入得
　$\begin{cases} -m+n=0, \\ m+n=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=2, \\ n=2, \end{cases}$
∴直线AM的函数解析式为y=2x+2.
　当x=0时,y=2x+2=2,则R(0,2),设P(0,y),
　由四边形APQM为矩形，知∠RAP=90°,
∴$(2-y)^{2}=1^{2}+y^{2}+1^{2}+2^{2}$,
　解得$y=-\frac{1}{2}$,即$P\left( 0,-\frac{1}{2} \right)$,
　由平移的性质可得$Q\left( 2,\frac{7}{2} \right)$;
　如答图②，当点P在AM的上方时，同理可得
　$(y-2)^{2}=(1-0)^{2}+(4-2)^{2}+(0-1)^{2}+(y-4)^{2}$,
　解得$y=\frac{9}{2}$,即$P\left( 0,\frac{9}{2} \right)$,
　由平移的性质可得$Q\left( -2,\frac{1}{2} \right)$.
　综上:点Q的坐标为$\left( 2,\frac{7}{2} \right)$或$\left( -2,\frac{1}{2} \right)$.