《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 菱形的概念
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
注意:(1)菱形首先是一个平行四边形,然后增加一个特殊条件,即一组邻边相等.
(2)菱形是轴对称图形,有2条对称轴,2条对称轴相互垂直.

答案： 邻边 垂直

2. 菱形的性质定理
定理:(1)菱形的四条边相等.
(2)菱形的对角线互相垂直.
方法技巧:菱形的每一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形,两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,所以有关菱形的一些证明或计算问题常可以应用等腰三角形或直角三角形的知识来解决.
拓展:菱形的每一条对角线平分一组对角.

答案： 相等 互相垂直

例1 如图,在菱形ABCD中,E是对角线AC上一点.
(1)求证:$\triangle ABE \cong \triangle ADE$;略
菱形的性质
(2)若$AB = AE$,$\angle BAE = 36^{\circ}$,求$\angle CDE$的度数.$36^{\circ}$

答案： （1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线平分一组对角。
所以$AB = AD$，$\angle BAE=\angle DAE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADE$中：
$\begin{cases}AB = AD\\\angle BAE=\angle DAE\\AE = AE\end{cases}$（公共边）
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle ADE$。
（2）解：
因为$AB = AE$，$\angle BAE = 36^{\circ}$，根据等腰三角形的性质$\angle ABE=\angle AEB$。
由三角形内角和定理$\angle ABE=\angle AEB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAE)$。
把$\angle BAE = 36^{\circ}$代入可得$\angle ABE=\angle AEB=\frac{1}{2}(180 - 36)^{\circ}=72^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB// CD$，$\angle ADC=\angle ABC$。
由$\triangle ABE\cong\triangle ADE$，所以$\angle ADE=\angle ABE = 72^{\circ}$。
又因为$AB = AD$，$\angle BAD=\angle BAE+\angle DAE$，$\angle BAE=\angle DAE = 36^{\circ}$，所以$\angle BAD = 72^{\circ}$。
根据菱形邻角互补$\angle ADC+\angle BAD=180^{\circ}$，则$\angle ADC = 108^{\circ}$。
所以$\angle CDE=\angle ADC-\angle ADE$。
把$\angle ADC = 108^{\circ}$，$\angle ADE = 72^{\circ}$代入可得$\angle CDE=108^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}$。
综上，（1）已证$\triangle ABE\cong\triangle ADE$；（2）$\angle CDE$的度数为$36^{\circ}$。

例2 如图,菱形花坛ABCD的一边AB长为20m,$\angle ABC = 60^{\circ}$,沿着该菱形的对角线修建两条小路AC和BD.求:
(1)AC和BD的长;$AC = 20m$，$BD = 20\sqrt{3}m$
(2)菱形花坛ABCD的面积.$S_{菱形ABCD} = 200\sqrt{3}m^{2}$

答案：  （1）
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$，$AB = BC$，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$。
又因为$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
则$AC = AB = 20m$。
在$Rt\triangle ABO$中，$AB = 20m$，$AO=\frac{1}{2}AC = 10m$，根据勾股定理$BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}$，即$BO=\sqrt{20^{2}-10^{2}}=\sqrt{400 - 100}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}m$。
所以$BD = 2BO = 20\sqrt{3}m$。
 （2）
菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$。
已知$AC = 20m$，$BD = 20\sqrt{3}m$，则$S=\frac{1}{2}×20×20\sqrt{3}=200\sqrt{3}m^{2}$。
综上，（1）$AC = 20m$，$BD = 20\sqrt{3}m$；（2）菱形花坛$ABCD$的面积为$200\sqrt{3}m^{2}$。

1. 关于菱形的性质,以下说法不正确的是(B)
A. 四条边相等
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 是轴对称图形

答案： B