《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

5. 如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得$AC=2m$，$BD=2.1m$，若小明眼睛距地面的高度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE.

楼的高度 OE 为32m.

答案： 解：设$OA = x$，$OE = h$。
因为$\triangle GDC\sim\triangle EOC$，所以$\frac{GD}{OE}=\frac{DC}{OC}$，即$\frac{1.6}{h}=\frac{BD - BC}{x + AC}$。
因为$\triangle FBA\sim\triangle EOA$，所以$\frac{FB}{OE}=\frac{BA}{OA}$，即$\frac{1.6}{h}=\frac{AB}{x}$。
又因为$DC = BD - BC$，$AB = AC - BC$，且$AC = 2m$，$BD = 2.1m$。
由$\frac{1.6}{h}=\frac{AB}{x}$可得$AB=\frac{1.6x}{h}$，由$\frac{1.6}{h}=\frac{BD - BC}{x + AC}$可得$BD - BC=\frac{1.6(x + AC)}{h}$。
因为$AB + BC=AC$，$BC + CD = BD$，所以$AB=AC - BC$，$CD = BD - BC$。
则$\frac{1.6x}{h}=2 - BC$，$\frac{1.6(x + 2)}{h}=2.1 - BC$。
用$\frac{1.6(x + 2)}{h}-\frac{1.6x}{h}=(2.1 - BC)-(2 - BC)$
$\frac{1.6x+3.2}{h}-\frac{1.6x}{h}=0.1$
$\frac{3.2}{h}=0.1$
解得$h = 32$。
所以楼的高度$OE$为$32m$。

6. (应用意识)[2023秋·浑南区期末]为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m.在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙.
| |甲|乙|
|----|----|----|
|图例|||
|方案|如图，①是测试距离为5m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②.通过测量大视力表中“E”的高度(BC的长)，即可求出小视力表中相应的“E”的高度(DF的长).|使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN)，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上、下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN.|
(1)如果甲的方案中大视力表中“E”的高是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高是2.1cm.
(2)乙的方案中如果视力表的全长为0.8m，镜长至少为0.32m.

答案： $(1)$ 求小视力表中相应“$E$”的高
解：
因为$\triangle ADF\sim\triangle ABC$（相似三角形判定：两角分别相等的两个三角形相似，这里$\angle A$为公共角，$\angle ADF = \angle ABC = 90^{\circ}$）。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，即$\frac{DF}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
已知$BC = 3.5cm$，$AB = 5m$，$AD = 3m$，代入可得$\frac{DF}{3.5}=\frac{3}{5}$。
求解$DF$：$DF=\frac{3×3.5}{5}= 2.1cm$。
$(2)$ 求镜长至少为多少米
解：
因为$\triangle CMN\sim\triangle CAB'$（相似三角形判定：由平面镜成像原理可知$\angle CMN=\angle CA B'$，$\angle CNM=\angle CB'A$ ），且$AB = A'B'$（平面镜成像特点：像与物大小相等），$AB = 0.8m$。
又因为$MN$是$\triangle CAB'$的中位线（根据平面镜成像原理和光路图可知）。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以$MN=\frac{1}{2}AB$。
将$AB = 0.8m$代入可得$MN=\frac{1}{2}×0.8 = 0.4m$。
综上，$(1)$ 小视力表中相应“$E$”的高是$\boldsymbol{2.1cm}$；$(2)$ 镜长至少为$\boldsymbol{0.4m}$。