《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 如图,$ P $ 是菱形 $ ABCD $ 的对角线 $ BD $ 上一点,连接 $ CP $ 并延长,交 $ AD $ 于点 $ E $,交 $ BA $ 的延长线于点 $ F $,连接 $ AP $. 求证:
(1)$ PA = PC $;
证明：因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD = CD$，$\angle ADP=\angle CDP$。在$\triangle ADP$和$\triangle CDP$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADP=\angle CDP\\DP = DP\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ADP\cong\triangle CDP$，所以$PA = PC$。
(2)$ PC^{2} = PE \cdot PF $.
证明：因为四边形$ABCD$是菱形，所以$DC// AB$，则$\angle DCP=\angle F$。又因为$\angle CPE=\angle FPC$（公共角），所以$\triangle CPE\sim\triangle FPC$。根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，所以$PC^{2}=PE\cdot PF$。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD = CD$，$\angle ADP=\angle CDP$。
在$\triangle ADP$和$\triangle CDP$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADP=\angle CDP\\DP = DP\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ADP\cong\triangle CDP$，所以$PA = PC$。
(2) 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$DC// AB$，则$\angle DCP=\angle F$。
又因为$\angle CPE=\angle FPC$（公共角），所以$\triangle CPE\sim\triangle FPC$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，所以$PC^{2}=PE\cdot PF$。
【答案】：
(1) $PA = PC$得证。
(2) $PC^{2}=PE\cdot PF$得证。

2. 如图,在菱形 $ ABCD $ 中,点 $ E,F $ 分别在边 $ AB,AD $ 上,$ BE = DF $,$ CE $ 的延长线交 $ DA $ 的延长线于点 $ G $,$ CF $ 的延长线交 $ BA $ 的延长线于点 $ H $.
(1)求证:$ \triangle BEC \backsim \triangle BCH $;
证明：因为四边形$ABCD$是菱形，所以$CD = CB$，$\angle D=\angle B$，$CD// AB$。又因为$DF = BE$，所以$\triangle CDF\cong\triangle CBE(SAS)$。则$\angle DCF=\angle BCE$。因为$CD// BH$，所以$\angle H=\angle DCF$。所以$\angle BCE=\angle H$，又$\angle B=\angle B$。根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle BEC\backsim\triangle BCH$。
(2)如果 $ BE^{2} = AB \cdot AE $,求证:$ AG = DF $.
证明：因为$BE^{2}=AB\cdot AE$，所以$\frac{BE}{AB}=\frac{AE}{BE}$。因为四边形$ABCD$是菱形，所以$BC = AB$，$BC// AD$。则$\frac{AE}{BE}=\frac{AG}{BC}$。又因为$BC = AB$，$\frac{BE}{AB}=\frac{AE}{BE}$，所以$\frac{BE}{BC}=\frac{AG}{BC}$。所以$BE = AG$。又因为$BE = DF$，所以$AG = DF$。

答案： 【解析】：
(1)
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$CD = CB$，$\angle D=\angle B$，$CD// AB$。
又因为$DF = BE$，所以$\triangle CDF\cong\triangle CBE(SAS)$。
则$\angle DCF=\angle BCE$。
因为$CD// BH$，所以$\angle H=\angle DCF$。
所以$\angle BCE=\angle H$，又$\angle B=\angle B$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle BEC\backsim\triangle BCH$。
(2)
因为$BE^{2}=AB\cdot AE$，所以$\frac{BE}{AB}=\frac{AE}{BE}$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$BC = AB$，$BC// AD$。
则$\frac{AE}{BE}=\frac{AG}{BC}$。
又因为$BC = AB$，$\frac{BE}{AB}=\frac{AE}{BE}$，所以$\frac{BE}{BC}=\frac{AG}{BC}$。
所以$BE = AG$。
又因为$BE = DF$，所以$AG = DF$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。

3. (模型观念、动态几何)如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 90^{\circ} $,$ AB = 8 cm $,$ AC = 6 cm $,$ P,Q $ 分别为 $ AC,AB $ 上的两动点,$ P $ 从点 $ C $ 开始以 $ 1 cm/s $ 的速度向点 $ A $ 运动,$ Q $ 从点 $ A $ 开始以 $ 2 cm/s $ 的速度向点 $ B $ 运动,当其中一点到达终点时,两点都停止运动. 设运动时间为 $ t s $.
(1)$ AQ $ 的长为$2t$,$ AP $ 的长为$6 - t$(用 $ t $ 的代数式表示);
(2)当 $ t = 2 s $ 时,$ \triangle APQ $ 的面积是$8cm^{2}$;
(3)当 $ t $ 为多少秒时,以点 $ A,P,Q $ 为顶点的三角形与 $ \triangle ABC $ 相似?

当$t$为$2.4s$或$\frac{18}{11}s$时，以点$A$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似。

答案：
(1)$2t$ $6 - t$
(2)$8cm^{2}$
(3)当$t$为$2.4s$或$\frac{18}{11}s$时，以点$A$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似。