《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

6. 函数$y=kx+b$的图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx+k-1=0$的根的情况是（C）

A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

答案： C

7. 已知关于$x$的一元二次方程$(m+1)x^{2}+2x=1$（$m$为实数）．
（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求$m$的取值范围；
（2）如果该方程有两个相等的实数根，求$m$的取值范围；
（3）如果该方程没有实数根，求$m$的取值范围．

答案： 1. 首先将方程化为一般形式：
原方程$(m + 1)x^{2}+2x = 1$化为$(m + 1)x^{2}+2x−1 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a=m + 1$，$b = 2$，$c=-1$，判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
则$\Delta=2^{2}-4(m + 1)×(-1)=4 + 4(m + 1)=4m+8$。
2. （1）当方程有两个不相等的实数根时：
需满足$\begin{cases}a\neq0\\\Delta＞0\end{cases}$，即$\begin{cases}m + 1\neq0\\4m + 8＞0\end{cases}$。
解不等式$m + 1\neq0$，得$m\neq - 1$；
解不等式$4m+8＞0$，移项得$4m＞-8$，两边同时除以$4$，得$m＞-2$。
所以$m$的取值范围是$m＞-2$且$m\neq - 1$。
3. （2）当方程有两个相等的实数根时：
需满足$\begin{cases}a\neq0\\\Delta = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}m + 1\neq0\\4m + 8 = 0\end{cases}$。
解$m + 1\neq0$得$m\neq - 1$；
解$4m+8 = 0$，移项得$4m=-8$，两边同时除以$4$，得$m=-2$。
所以$m$的取值范围是$m=-2$。
4. （3）当方程没有实数根时：
需满足$\begin{cases}a\neq0\\\Delta＜0\end{cases}$，即$\begin{cases}m + 1\neq0\\4m + 8＜0\end{cases}$。
解$m + 1\neq0$得$m\neq - 1$；
解$4m+8＜0$，移项得$4m＜-8$，两边同时除以$4$，得$m＜-2$。
所以$m$的取值范围是$m＜-2$。
综上，（1）$m＞-2$且$m\neq - 1$；（2）$m=-2$；（3）$m＜-2$。

8. [2023·宜宾]若关于$x$的方程$x^{2}-2(m+1)x+m+4=0$的两根的倒数和为1，则$m$的值为2．

答案： 2

9. [2023·内江]已知$a$，$b$是方程$x^{2}+3x-4=0$的两根，则$a^{2}+4a+b-3=$$-2$．

答案： $-2$

10. [2023·湖北]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m=0$．
（1）求证：无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为$a$，$b$，若$(2a+b)(a+2b)=20$，求$m$的值．$-2$或1

答案： $(1)$ 证明方程有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$。
在方程$x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}+m = 0$中，$A = 1$，$B=-(2m + 1)$，$C = m^{2}+m$。
则$\Delta =[-(2m + 1)]^{2}-4×1×(m^{2}+m)$
$=(2m + 1)^{2}-4(m^{2}+m)$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开$(2m + 1)^{2}$得：
$\Delta=4m^{2}+4m + 1-4m^{2}-4m$
$=1$
因为$\Delta=1\gt0$，所以无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求$m$的值
根据韦达定理，对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，则$x_1 + x_2=-\frac{B}{A}$，$x_1x_2=\frac{C}{A}$。
对于方程$x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}+m = 0$，$a + b=2m + 1$，$ab=m^{2}+m$。
对$(2a + b)(a + 2b)$进行化简：
$\begin{aligned}(2a + b)(a + 2b)&=2a^{2}+4ab+ab+2b^{2}\\&=2(a^{2}+2ab + b^{2})+ab\\&=2(a + b)^{2}+ab\end{aligned}$
把$a + b=2m + 1$，$ab=m^{2}+m$代入$2(a + b)^{2}+ab = 20$得：
$2(2m + 1)^{2}+m^{2}+m = 20$
展开$(2m + 1)^{2}$得$2(4m^{2}+4m + 1)+m^{2}+m = 20$
即$8m^{2}+8m + 2+m^{2}+m = 20$
合并同类项得$9m^{2}+9m-18 = 0$
两边同时除以$9$得$m^{2}+m - 2 = 0$
因式分解得$(m + 2)(m - 1)=0$
则$m + 2 = 0$或$m - 1 = 0$
解得$m=-2$或$m = 1$。
综上，$(1)$ 证明过程如上述；$(2)$$\boldsymbol{m=-2}$或$\boldsymbol{m = 1}$。

11. 某种商品的标价为200元/件，由于销量不佳，店家决定降价促销，经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率．
（2）已知该种商品的进价为80元/件，若以128元/件售出，则平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件．如果每天盈利1475元，那么每件应降价多少元？

答案： $(1)$求该种商品每次降价的百分率
设该种商品每次降价的百分率为$x$。
根据公式：$商品原价×(1 - 降价百分率)^{降价次数}=降价后的价格$，已知标价$200$元/件，两次降价后价格为$128$元/件，则可列方程：
$200(1 - x)^{2}=128$
$(1 - x)^{2}=\frac{128}{200}$
$(1 - x)^{2}=0.64$
$1 - x=\pm0.8$
当$1 - x = 0.8$时，$x = 1 - 0.8=0.2 = 20\%$；
当$1 - x=-0.8$时，$x = 1 + 0.8 = 1.8$（降价百分率不能大于$1$，舍去）。
所以该种商品每次降价的百分率为$20\%$。
$(2)$求每件应降价多少元
设每件应降价$y$元。
- **步骤一：分析单件利润和销售量
单件利润：已知进价$80$元/件，原售价$128$元/件，降价$y$元后，单件利润为$(128 - 80 - y)=(48 - y)$元。
销售量：原本每天售出$20$件，每降价$1$元多售出$5$件，降价$y$元后，销售量为$(20 + 5y)$件。
- **步骤二：根据盈利公式列方程
根据公式：$总盈利=(单件利润)×(销售量)-其他费用$，已知每天盈利$1475$元，每天需支付其他各种费用$100$元，可列方程：
$(48 - y)(20 + 5y)-100 = 1475$
展开括号得：$48×20+48×5y-20y-5y^{2}-100 = 1475$
$960 + 240y-20y-5y^{2}-100 = 1475$
$-5y^{2}+220y + 860 - 1475 = 0$
$-5y^{2}+220y - 615 = 0$
两边同时除以$-5$得：$y^{2}-44y + 123 = 0$
- **步骤三：求解方程
对于一元二次方程$y^{2}-44y + 123 = 0$，根据求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（其中$a = 1$，$b=-44$，$c = 123$）
$\Delta=b^{2}-4ac=(-44)^{2}-4×1×123=1936 - 492 = 1444$
$y=\frac{44\pm\sqrt{1444}}{2}=\frac{44\pm38}{2}$
解得$y_{1}=\frac{44 + 38}{2}=41$，$y_{2}=\frac{44 - 38}{2}=3$。
- **步骤四：根据条件筛选答案
因为每件降价幅度不超过$10$元，而$41\gt10$，所以$y = 41$舍去。
所以每件应降价$3$元。
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{20\%}$；$(2)\boldsymbol{3}$元。