《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

3. 如图，四边形 $ABCD$ 与四边形 $A'B'C'D'$ 相似，点 $A$ 与点 $A'$、点 $B$ 与点 $B'$、点 $C$ 与点 $C'$、点 $D$ 与点 $D'$ 分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边 $x$，$y$ 的长度和角 $\alpha$，$\beta$ 的大小.

$x=$6，$y=$15，$\alpha=$155°，$\beta=$55°.

答案： 1. 首先求$x$，$y$的值：
因为四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$相似，根据相似多边形对应边成比例，可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$。
已知$AB = 9$，$BC = 12$，$B'C' = 8$，$C'D' = 10$，则$\frac{9}{x}=\frac{12}{8}=\frac{y}{10}$。
由$\frac{12}{8}=\frac{9}{x}$，根据比例的性质$12x=9×8$，即$12x = 72$，解得$x = 6$。
由$\frac{12}{8}=\frac{y}{10}$，根据比例的性质$8y=12×10$，即$8y = 120$，解得$y = 15$。
2. 然后求$\alpha$，$\beta$的值：
因为相似多边形对应角相等，四边形内角和$S=(n - 2)×180^{\circ}$（$n = 4$时，$S = 360^{\circ}$）。
对于四边形$ABCD$和$A'B'C'D'$，$\angle B=\angle B' = 60^{\circ}$，$\angle C=\angle C' = 90^{\circ}$，$\angle D=\beta$，$\angle D' = 55^{\circ}$。
所以$\beta=\angle D = 55^{\circ}$。
又因为$\alpha+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}$，把$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle D = 55^{\circ}$代入可得：$\alpha+60^{\circ}+90^{\circ}+55^{\circ}=360^{\circ}$。
则$\alpha=360^{\circ}-(60^{\circ}+90^{\circ}+55^{\circ})=155^{\circ}$。
综上，$x = 6$，$y = 15$，$\alpha = 155^{\circ}$，$\beta = 55^{\circ}$。

1. 下列命题中，正确的是①.（填序号）
①所有的正方形都相似；
②所有的菱形都相似；
③边长相等的两个菱形都相似；
④对角线相等的两个矩形都相似.

答案： ①

2. 如果四边形 $ABCD \backsim$ 四边形 $A'B'C'D'$，且 $AB:A'B' = 2:3$，那么四边形 $A'B'C'D'$ 与四边形 $ABCD$ 的相似比为3:2.

答案： 3:2

3. 已知五边形 $ABCDE \backsim$ 五边形 $MNOPQ$，若 $AB = 12$，$MN = 6$，$AE = 7$，$\angle E = 82^{\circ}$，则 $MQ =$3.5，$\angle Q =$82$^{\circ}$.

答案： 3.5 82

4. 两个相似多边形的相似比为 $5:3$，已知其中一个多边形的最小边长为 $15$，则另一个多边形的最小边长为9 或 25.

答案： 9 或 25

5. 如图，在四边形 $ABCD$ 的边 $AB$ 上任取一点 $O$（不与点 $A$，$B$ 重合），连接 $OC$，$OD$，分别取 $OA$，$OB$，$OC$，$OD$ 的中点 $A'$，$B'$，$C'$，$D'$，连接 $A'D'$，$D'C'$，$C'B'$，四边形 $A'B'C'D'$ 与四边形 $ABCD$ 相似吗？为什么？
四边形$A'B'C'D'$ 与四边形$ABCD$相似.理由略.

答案： 解：四边形$A'B'C'D'$与四边形$ABCD$相似。
理由如下：
因为$A'$，$D'$分别是$OA$，$OD$的中点，所以$A'D'// AD$，且$A'D'=\dfrac{1}{2}AD$。
同理可得$D'C'// DC$，$D'C'=\dfrac{1}{2}DC$；$C'B'// CB$，$C'B'=\dfrac{1}{2}CB$；$A'B'// AB$，$A'B'=\dfrac{1}{2}AB$。
所以$\angle OA'D'=\angle OAD$，$\angle OD'A'=\angle ODA$，$\angle OD'C'=\angle ODC$，$\angle OC'D'=\angle OCD$，$\angle OC'B'=\angle OCB$，$\angle OB'C'=\angle OBC$，$\angle OA'B'=\angle OAB$，$\angle OB'A'=\angle OBA$。
则$\angle A'D'C'=\angle A'D'O+\angle OD'C'=\angle ADO+\angle ODC=\angle ADC$，
$\angle D'C'B'=\angle D'C'O+\angle OC'B'=\angle DCO+\angle OCB=\angle DCB$，
$\angle C'B'A'=\angle C'B'O+\angle OB'A'=\angle CBO+\angle OBA=\angle CBA$，
$\angle B'A'D'=\angle B'A'O+\angle OA'D'=\angle BAO+\angle OAD=\angle BAD$。
又因为$\dfrac{A'D'}{AD}=\dfrac{D'C'}{DC}=\dfrac{C'B'}{CB}=\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{1}{2}$。
所以四边形$A'B'C'D'$与四边形$ABCD$的对应角相等，对应边成比例。
所以四边形$A'B'C'D'$与四边形$ABCD$相似。

6.（模型观念）如图，现有一张宽为 $1$、长为 $a$（$a ＞ 1$）的矩形纸片 $ABCD$，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并求出相应的 $a$ 的值.
(1) 把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似；分割线：取$AD$、$BC$中点$E$、$F$，连接$EF$；$a=$$\sqrt{2}$
(2) 把这个矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割方式.
第一种分割方式：分割线为平行于$AB$的两条线，$a=$$\sqrt{3}$；第二种分割方式：分割线为平行于$AD$的两条线，$a=$$3$

答案： 【解析】：
(1) 原矩形宽为$1$，长为$a$，分成两个全等小矩形后，小矩形宽为$\frac{a}{2}$，长为$1$。
因为分成的两个矩形与原矩形相似，所以$\frac{\frac{a}{2}}{1}=\frac{1}{a}$，即$a^{2}=2$，又$a\gt1$，解得$a = \sqrt{2}$。
分割线：取$AD$、$BC$中点$E$、$F$，连接$EF$，$EF$即为分割线。
(2) 第一种分割方式：
设分割后小矩形宽为$x$，长为$1$，因为小矩形与原矩形相似，则$\frac{x}{1}=\frac{1}{a}$，即$x=\frac{1}{a}$。
又因为$3x=a$，将$x=\frac{1}{a}$代入$3x=a$得$3×\frac{1}{a}=a$，$a^{2}=3$，$a = \sqrt{3}$。
分割线：在$AD$、$BC$上分别取点$E$、$F$、$G$、$H$，使$AE = BF=\frac{1}{3}a$，$ED = FC=\frac{2}{3}a$，连接$EF$、$GH$（$EF$、$GH$平行于$AB$）。
第二种分割方式：
设分割后小矩形宽为$1$，长为$\frac{a}{3}$，因为小矩形与原矩形相似，则$\frac{1}{\frac{a}{3}}=\frac{\frac{a}{3}}{a}$，$\frac{3}{a}=\frac{1}{3}$，解得$a = 3$。
分割线：在$AB$、$CD$上分别取点$E$、$F$、$G$、$H$，使$AE = DF = 1$，$EB = FC = 2$，连接$EF$、$GH$（$EF$、$GH$平行于$AD$）。
【答案】：
(1) 分割线：取$AD$、$BC$中点$E$、$F$，连接$EF$；$a=\sqrt{2}$。
(2) 第一种分割方式：分割线为平行于$AB$的两条线（如上述解析），$a = \sqrt{3}$；第二种分割方式：分割线为平行于$AD$的两条线（如上述解析），$a = 3$。