《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 相似三角形的概念
相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
表示方法：$\triangle ABC$与$\triangle DEF$相似，记作$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$。
注 意：(1)全等三角形是特殊的相似三角形，它的特殊性体现在相似比为1；
(2)相似三角形的定义，既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形的性质，其性质为两个三角形相似，对应角相等，对应边成比例。

答案： 相等 成比例

2. 相似三角形的判定定理1
内 容：两角分别相等的两个三角形相似。
注 意：在相似三角形的三个简单判定定理中，本方法所需条件较少，所以在今后涉及相似三角形的证明中使用的较多，使用时一定要注意对应角相等。

答案： 两

例1 [2023·重庆B卷]如图，已知$\triangle ABC \backsim \triangle EDC$，$AC:EC = 2:3$，若$AB$的长为6，则$DE$的长为（B）

A. 4
B. 9
C. 12
D. 13.5

答案： B

例2 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD \perp AB$于点$D$。
(1)图中有哪些三角形相似？$\triangle ACD \backsim \triangle ABC$，$\triangle ACD \backsim \triangle CBD$，$\triangle CBD \backsim \triangle ABC$
(2)求证：$AC^{2} = AD \cdot AB$，$BC^{2} = BD \cdot BA$，$CD^{2} = AD \cdot BD$；略
(3)若$AD = 2$，$DB = 8$，求$AC$，$BC$，$CD$的长；$AC = 2\sqrt{5}$，$BC = 4\sqrt{5}$，$CD = 4$
(4)若$AC = 6$，$DB = 9$，求$AD$，$CD$，$BC$的长；$AD = 3$，$CD = 3\sqrt{3}$，$BC = 6\sqrt{3}$
(5)求证：$AC \cdot BC = AB \cdot CD$。略

答案： 1. **（1）找出相似三角形**：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，所以$\angle ADC=\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A=\angle A$（公共角），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。
同理，$\angle BDC=\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle B=\angle B$（公共角），则$\triangle BCD\sim\triangle BAC$。
又因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle B+\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\angle A=\angle BCD$，且$\angle ADC=\angle CDB = 90^{\circ}$，那么$\triangle ACD\sim\triangle CBD$。
综上，相似三角形有$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，$\triangle BCD\sim\triangle BAC$，$\triangle ACD\sim\triangle CBD$。
2. **（2）证明等式**：
证明$AC^{2}=AD\cdot AB$：
解：因为$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，交叉相乘得$AC^{2}=AD\cdot AB$。
证明$BC^{2}=BD\cdot BA$：
解：由于$\triangle BCD\sim\triangle BAC$，则$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，交叉相乘得$BC^{2}=BD\cdot BA$。
证明$CD^{2}=AD\cdot BD$：
解：因为$\triangle ACD\sim\triangle CBD$，所以$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，交叉相乘得$CD^{2}=AD\cdot BD$。
3. **（3）求$AC$，$BC$，$CD$的长**：
解：已知$AD = 2$，$DB = 8$，则$AB=AD + DB=2 + 8 = 10$。
由$AC^{2}=AD\cdot AB$，可得$AC=\sqrt{AD\cdot AB}=\sqrt{2×10}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
由$BC^{2}=BD\cdot BA$，可得$BC=\sqrt{BD\cdot BA}=\sqrt{8×10}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
由$CD^{2}=AD\cdot BD$，可得$CD=\sqrt{AD\cdot BD}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$。
4. **（4）求$AD$，$CD$，$BC$的长**：
解：设$AD=x$，则$AB=x + 9$。
因为$AC^{2}=AD\cdot AB$，$AC = 6$，所以$6^{2}=x(x + 9)$，即$x^{2}+9x - 36 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b = 9$，$c=-36$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得$x=\frac{-9\pm\sqrt{9^{2}-4×1×(-36)}}{2×1}=\frac{-9\pm\sqrt{81 + 144}}{2}=\frac{-9\pm\sqrt{225}}{2}=\frac{-9\pm15}{2}$。
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-12$（边长不能为负舍去），所以$AD = 3$。
由$CD^{2}=AD\cdot BD$，$BD = 9$，$AD = 3$，可得$CD=\sqrt{3×9}=3\sqrt{3}$。
由$BC^{2}=BD\cdot BA$，$BA=AD + BD=3 + 9 = 12$，$BD = 9$，可得$BC=\sqrt{9×12}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
5. **（5）证明$AC\cdot BC=AB\cdot CD$**：
解：因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC$（以$AC$，$BC$为底和高），$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$（以$AB$为底，$CD$为高）。
所以$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，两边同时乘以$2$得$AC\cdot BC=AB\cdot CD$。