《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

例1 试证明定理:两角分别相等的两个三角形相似.(要求:先画出图形,再根据图形写出已知、求证和证明过程)

答案： 【解析】：
1. 首先画出图形：
画$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，使$\angle A = \angle A'$，$\angle B=\angle B'$。
2. 然后写出已知、求证：
已知：在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\angle A=\angle A'$，$\angle B = \angle B'$。
求证：$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
3. 接着进行证明：
在$\triangle ABC$的边$AB$（或它的延长线）上截取$AD = A'B'$，过点$D$作$DE// BC$，交$AC$于点$E$。
因为$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理的推论，可得$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，所以$\angle ADE=\angle B$。
又因为$\angle B = \angle B'$，所以$\angle ADE=\angle B'$。
已知$\angle A=\angle A'$，$AD = A'B'$，根据“角边角”（$ASA$）判定定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle A'B'C'$。
由于$\triangle ADE\sim\triangle ABC$且$\triangle ADE\cong\triangle A'B'C'$，所以$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
【答案】：
图形：画$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，使$\angle A = \angle A'$，$\angle B=\angle B'$。
已知：在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\angle A=\angle A'$，$\angle B = \angle B'$。
求证：$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
证明：在$\triangle ABC$的边$AB$（或它的延长线）上截取$AD = A'B'$，过点$D$作$DE// BC$，交$AC$于点$E$。因为$DE// BC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，则$\angle ADE=\angle B$。又$\angle B = \angle B'$，所以$\angle ADE=\angle B'$。已知$\angle A=\angle A'$，$AD = A'B'$，所以$\triangle ADE\cong\triangle A'B'C'$。因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$且$\triangle ADE\cong\triangle A'B'C'$，所以$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。

例2 试证明定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(要求:先画出图形,再根据图形写出已知、求证和证明过程)

答案： 【解析】：
1. 首先画出图形：
画$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，使得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$\angle A = \angle A'$。
2. 然后写出已知、求证：
已知：在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$\angle A=\angle A'$。
求证：$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
3. 接着进行证明：
在$\triangle A'B'C'$的边$A'B'$上截取$A'D = AB$，过点$D$作$DE// B'C'$，交$A'C'$于点$E$。
因为$DE// B'C'$，根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，所以$\triangle A'DE\sim\triangle A'B'C'$，则$\frac{A'D}{A'B'}=\frac{A'E}{A'C'}$。
又因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，且$A'D = AB$，所以$\frac{A'D}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，从而$\frac{A'E}{A'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，所以$A'E = AC$。
已知$\angle A=\angle A'$，$A'D = AB$，$A'E = AC$，根据全等三角形判定定理（$SAS$），可得$\triangle ADE\cong\triangle ABC$。
因为$\triangle A'DE\sim\triangle A'B'C'$，$\triangle ADE\cong\triangle ABC$，所以$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
【答案】：
图形：画$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，使得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$\angle A = \angle A'$。
已知：在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$\angle A=\angle A'$。
求证：$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
证明：在$\triangle A'B'C'$的边$A'B'$上截取$A'D = AB$，过点$D$作$DE// B'C'$，交$A'C'$于点$E$。因为$DE// B'C'$，所以$\triangle A'DE\sim\triangle A'B'C'$，则$\frac{A'D}{A'B'}=\frac{A'E}{A'C'}$。又因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，且$A'D = AB$，所以$\frac{A'D}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，从而$\frac{A'E}{A'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，所以$A'E = AC$。已知$\angle A=\angle A'$，$A'D = AB$，$A'E = AC$，所以$\triangle ADE\cong\triangle ABC(SAS)$。因为$\triangle A'DE\sim\triangle A'B'C'$，$\triangle ADE\cong\triangle ABC$，所以$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。

例3 试证明定理:三边成比例的两个三角形相似.(要求:先画出图形,再根据图形写出已知、求证和证明过程)

答案： 【解析】：
1. 首先画出图形：
画$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，使$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$。
2. 然后写出已知、求证：
已知：在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$。
求证：$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
3. 接着进行证明：
在$\triangle A'B'C'$的边$A'B'$（或它的延长线）上截取$A'D = AB$，过点$D$作$DE// B'C'$，交$A'C'$于点$E$。
根据平行线分线段成比例定理，因为$DE// B'C'$，所以$\triangle A'DE\sim\triangle A'B'C'$，则$\frac{A'D}{A'B'}=\frac{D E}{B'C'}=\frac{A'E}{A'C'}$。
又因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，且$A'D = AB$，所以$\frac{A'D}{A'B'}=\frac{AB}{A'B'}$，那么$\frac{DE}{B'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，$\frac{A'E}{A'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，从而$DE = BC$，$A'E = AC$。
在$\triangle ABC$和$\triangle A'DE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = A'D\\BC = DE\\AC = A'E\end{array}\right.$，根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle A'DE$。
因为$\triangle A'DE\sim\triangle A'B'C'$，且$\triangle ABC\cong\triangle A'DE$，所以$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
【答案】：
图形：画$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$。
已知：在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$。
求证：$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
证明：在$\triangle A'B'C'$的边$A'B'$（或它的延长线）上截取$A'D = AB$，过点$D$作$DE// B'C'$，交$A'C'$于点$E$。因为$DE// B'C'$，所以$\triangle A'DE\sim\triangle A'B'C'$，则$\frac{A'D}{A'B'}=\frac{D E}{B'C'}=\frac{A'E}{A'C'}$。又$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，且$A'D = AB$，所以$\frac{DE}{B'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，$\frac{A'E}{A'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，得$DE = BC$，$A'E = AC$。在$\triangle ABC$和$\triangle A'DE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = A'D\\BC = DE\\AC = A'E\end{array}\right.$，所以$\triangle ABC\cong\triangle A'DE$。因为$\triangle A'DE\sim\triangle A'B'C'$，且$\triangle ABC\cong\triangle A'DE$，所以$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。

如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ P $ 是边 $ AC $ 上的一点,连接 $ BP $,以下条件不能判定 $ \triangle ABP \backsim \triangle ACB $ 的是 (D)

A.$ \angle ABP = \angle C $
B.$ \angle APB = \angle ABC $
C.$ \frac{AB}{AP} = \frac{AC}{AB} $
D.$ \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AP} $

答案： D