《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

对黄金分割、黄金比的理解
黄金分割:一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图),如果$\frac {AC}{AB}=$ $\frac {BC}{AC}$,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$≈0.618.

答案： 点C AC与AB的比 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 0.618

例1 [2023春·皇姑区期中]已知C是线段AB的黄金分割点,$AC＞BC$,若$AB=2,$则AC的长为$\sqrt{5}-1$(结果保留根号).

答案： $\sqrt{5}-1$

例2 采用如下方法也可以得到黄金分割点:如图,AB是已知线段,以AB为边作正方形ABCD;取AD的中点E,连接EB,延长DA至点F,使$EF=EB$;以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是AB的黄金分割点.你能说说这种作法的道理吗?

设正方形$ABCD$的边长$AB =$$2a$。
- **步骤一：求$AE$、$EB$的长度**
因为$E$是$AD$中点，$AD = AB =$$2a$，所以$AE=\frac{1}{2}AD =$$a$。
在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}$，把$AB =$$2a$，$AE =$$a$代入可得：
$BE=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=\sqrt{5a^{2}}=$$\sqrt{5}a$。
- **步骤二：求$AF$的长度**
因为$EF = EB$，所以$EF=$$\sqrt{5}a$，又因为$AE =$$a$，那么$AF=EF - AE=$$\sqrt{5}a - a$=$(\sqrt{5}-1)a$。
- **步骤三：求$\frac{AH}{AB}$的值**
因为四边形$AFGH$是正方形，所以$AH = AF =$$(\sqrt{5}-1)a$，$AB =$$2a$，则$\frac{AH}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
设$AB =$$2a$，通过计算得出$\frac{AH}{AB}=$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以点$H$是线段$AB$的黄金分割点。

答案： 【解析】：
设正方形$ABCD$的边长$AB = 2a$。
- **步骤一：求$AE$、$EB$的长度**
因为$E$是$AD$中点，$AD = AB = 2a$，所以$AE=\frac{1}{2}AD = a$。
在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}$，把$AB = 2a$，$AE = a$代入可得：
$BE=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=\sqrt{5a^{2}}=\sqrt{5}a$。
- **步骤二：求$AF$的长度**
因为$EF = EB$，所以$EF=\sqrt{5}a$，又因为$AE = a$，那么$AF=EF - AE=\sqrt{5}a - a=(\sqrt{5}-1)a$。
- **步骤三：求$\frac{AH}{AB}$的值**
因为四边形$AFGH$是正方形，所以$AH = AF = (\sqrt{5}-1)a$，$AB = 2a$，则$\frac{AH}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】：
设$AB = 2a$，通过计算得出$\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以点$H$是线段$AB$的黄金分割点。

1. 黄金分割在日常生活中处处可见,例如,主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好.若舞台长20m,主持人从舞台一侧进入,设他至少走xm时恰好站在舞台的黄金分割点上,则x满足的方程是 (A)
A. $(20-x)^{2}=20x$
B. $x^{2}=20(20-x)$
C. $x(20-x)=20^{2}$
D. 以上都不对

答案： A

2. [2023秋·沈河区期末]如图,冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、可爱、活泼,它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处.某“冰墩墩”玩偶身高6cm,则玩偶嘴巴到脚的距离是$(3\sqrt{5}-3)$cm.

答案： $(3\sqrt{5}-3)$

3. 已知线段$AB=10cm$,C,D是AB上的两个黄金分割点,则线段CD的长为$(10\sqrt{5}-20)$cm.

答案： $(10\sqrt{5}-20)$

1. 点C为线段AB的黄金分割点,且$AC＞BC$.下列说法正确的有 (C)
①$AC=\frac {\sqrt {5}-1}{2}AB;$
②$AC=\frac {3-\sqrt {5}}{2}AB;$
③$AB:AC=AC:BC;$
④$AC\approx 0.618AB.$
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C