《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

例1 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,AD=5,AB=8,AE=4,AC=10.求证:△ADE∽△ACB.

∵AD = 5，AB = 8，AE = 4，AC = 10，
∴AD/AC=5/10=1/2，AE/AB=4/8=1/2，
∴AD/AC=AE/AB，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

答案： 【解析】：
已知$AD = 5$，$AB = 8$，$AE = 4$，$AC = 10$。
计算$\frac{AD}{AC}$的值为$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，计算$\frac{AE}{AB}$的值为$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。
又因为$\angle A$是$\triangle ADE$和$\triangle ACB$的公共角，即$\angle A=\angle A$。
根据三角形相似判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle ADE\sim\triangle ACB$。
【答案】：
$\because AD = 5$，$AB = 8$，$AE = 4$，$AC = 10$，
$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
又$\because\angle A=\angle A$，
$\therefore\triangle ADE\sim\triangle ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

例2 如图,在正方形ABCD中,已知P是边BC上的点,且BP=3PC,Q是边CD的中点,试判断△ADQ与△QCP是否相似? 并说明理由.

△ADQ∽△QCP. 理由略.

答案： 解：设正方形$ABCD$的边长为$4a$。
因为$Q$是边$CD$的中点，所以$DQ = CQ=\frac{1}{2}×4a = 2a$。
又因为$BP = 3PC$，所以$PC=\frac{1}{4}×4a=a$。
在$\triangle ADQ$和$\triangle QCP$中：
$\frac{AD}{QC}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{DQ}{CP}=\frac{2a}{a}=2$。
且$\angle D=\angle C = 90^{\circ}$。
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$\triangle ADQ\sim\triangle QCP$。
综上，$\triangle ADQ$与$\triangle QCP$相似。

例3 如图,点B,D,E在同一条直线上,BE交AC于点F,$\frac {AB}{AD}=\frac {AC}{AE}$,且∠BAD=∠CAE.求证:
(1)△ABC∽△ADE;
(2)△AEF∽△BCF.

答案： 【解析】：
(1) 因为$\angle BAD = \angle CAE$，所以$\angle BAD + \angle DAC = \angle CAE + \angle DAC$，即$\angle BAC = \angle DAE$。又因为$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，根据三角形相似的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），所以$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。
(2) 由$\triangle ABC\sim\triangle ADE$可得$\angle C = \angle E$。因为$\angle AFE = \angle BFC$（对顶角相等），根据三角形相似的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），所以$\triangle AEF\sim\triangle BCF$。
【答案】：
(1) $\triangle ABC\sim\triangle ADE$；
(2) $\triangle AEF\sim\triangle BCF$。